Ondes — Sciences

Fondements — classification des ondes

Une onde est la propagation d'une perturbation transportant de l'énergie (et de l'impulsion) sans transport net de matière. La grandeur physique perturbée (pression, champ EM, déplacement, densité de probabilité…) est appelée amplitude ou fonction d'onde.

Mécaniques

Nécessitent un milieu matériel. Sons, ondes sismiques, vagues, ondes élastiques.

Électromagnétiques

Se propagent dans le vide. Lumière, radio, micro-ondes, X, γ.

Matière (QM)

Ondes de de Broglie associées aux particules massives. \(\lambda = h/p\).

Distinction fondamentale entre ondes transversales (le déplacement est perpendiculaire à la propagation — lumière, ondes transverses élastiques) et ondes longitudinales (déplacement parallèle — son dans l'air). Les ondes élastiques dans les solides peuvent être des deux types simultanément.

Paramètre	Symbole	Relation
Longueur d'onde	\(\lambda\)	\(\lambda = v/f = 2\pi/k\)
Fréquence	\(f\)	\(f = 1/T = \omega/(2\pi)\)
Pulsation	\(\omega\)	\(\omega = 2\pi f = vk\)
Vecteur d'onde	\(k\)	\(k = 2\pi/\lambda = \omega/v\)
Vitesse de phase	\(v_\varphi\)	\(v_\varphi = \omega/k = \lambda f\)
Vitesse de groupe	\(v_g\)	\(v_g = d\omega/dk\)

Équation d'onde et solutions

L'équation d'onde scalaire en dimension \(d\) est

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2\nabla^2 u,\qquad \nabla^2=\sum_{i=1}^d\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}.\]

En 1D, la solution générale de d'Alembert est

\[u(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt),\]

combinaison d'une onde progressive (vers \(+x\)) et d'une onde régressive (vers \(-x\)).

Ondes planes monochromatiques

La solution de type onde plane est

\[u(\mathbf{r},t) = A\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi_0) = \mathrm{Re}\!\left[Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\right],\]

avec la relation de dispersion \(\omega = v|\mathbf{k}|\). L'amplitude complexe \(\tilde{A}=Ae^{i\phi_0}\) encode amplitude et phase.

Ondes sphériques

En 3D, la solution à symétrie sphérique s'atténue en \(1/r\) :

\[u(r,t) = \frac{A}{r}\cos(kr - \omega t),\qquad I\propto\frac{A^2}{r^2}\quad\text{(loi en }1/r^2\text{)}.\]

Vitesse de phase et de groupe

Dans un milieu dispersif, \(v_\varphi = \omega/k\) dépend de \(k\). La propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes est gouvernée par la vitesse de groupe :

\[v_g = \frac{d\omega}{dk} = v_\varphi + k\frac{dv_\varphi}{dk} = v_\varphi\!\left(1-\frac{\lambda}{n}\frac{dn}{d\lambda}\right).\]

En optique, la dispersion anormale (\(dn/d\lambda > 0\)) peut donner \(v_g > v_\varphi\) et même \(v_g > c\), mais sans violation de causalité car la vitesse du signal reste \(\le c\).

Principe de superposition et analyse de Fourier

Pour les équations d'onde linéaires, le principe de superposition stipule que la somme de solutions est une solution. Tout signal périodique se décompose en série de Fourier :

\[u(x,t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in(kx-\omega t)},\qquad c_n = \frac{1}{T}\int_0^T u(x,t)e^{-in\omega t}dt.\]

Un signal non périodique se décompose en intégrale de Fourier :

\[\tilde u(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,0)e^{-ikx}dx,\qquad u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\tilde u(k)e^{i(kx-\omega(k)t)}dk.\]

Battements

La superposition de deux ondes de fréquences proches \(\omega_1 = \omega_0+\delta\omega\), \(\omega_2=\omega_0-\delta\omega\) donne des battements :

\[u(x,t) = 2A\cos(\delta\omega\cdot t)\cos(\omega_0 t - k_0 x).\]

L'enveloppe oscille à \(f_{\rm bat}=|f_1-f_2|\), phénomène utilisé en accordage d'instruments et en métrologie optique (peignes de fréquences).

Interférences

Quand deux sources cohérentes \(S_1\), \(S_2\) émettent des ondes de même fréquence, la différence de marche optique \(\delta = r_2 - r_1\) détermine le résultat :

\[I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\!\left(\frac{2\pi\delta}{\lambda}+\Delta\phi\right).\]

Interférences constructives : \(\delta = m\lambda\) (\(m\in\mathbb{Z}\)) → \(I_{\rm max}=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2\).

Interférences destructives : \(\delta = (m+\tfrac12)\lambda\) → \(I_{\rm min}=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2\).

Trous d'Young

Pour deux fentes séparées de \(d\) à distance \(D\) de l'écran (\(D\gg d\)), les franges d'interférence ont un espacement :

\[i = \frac{\lambda D}{d}.\]

Interféromètre de Michelson

Dans l'interféromètre de Michelson, la différence de marche est \(\delta = 2(L_2-L_1)\). Ce dispositif a permis à Michelson et Morley (1887) de réfuter l'existence de l'éther, fondant la relativité restreinte. Aujourd'hui, les détecteurs LIGO/Virgo (interféromètres de Fabry-Perot de 4 km) mesurent des déplacements de \(\Delta L/L \sim 10^{-23}\) pour détecter les ondes gravitationnelles.

Diffraction

La diffraction est la déviation d'une onde autour d'un obstacle ou d'une ouverture. En champ lointain (diffraction de Fraunhofer), l'amplitude diffractée est la transformée de Fourier de la transmission de l'ouverture :

\[E(\theta) = E_0 \int_{-\infty}^{+\infty} t(x)e^{-ikx\sin\theta}dx.\]

Pour une fente de largeur \(a\), l'intensité est

\[I(\theta) = I_0\,\mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right),\qquad \mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}.\]

Critère de Rayleigh et limite de résolution

Deux points sources sont résolus si leur séparation angulaire dépasse \(\theta_R = 1{,}22\lambda/D\) (ouverture circulaire de diamètre \(D\)). La limite de résolution du télescope James Webb à 2 μm est \(\approx 0{,}068''\) — mieux que Hubble dans l'infrarouge.

Réseau de diffraction

Pour un réseau de \(N\) fentes de pas \(d\), les maxima principaux vérifient :

\[d\sin\theta_m = m\lambda,\qquad m\in\mathbb{Z}.\]

Le pouvoir de résolution est \(\mathcal{R}=\lambda/\Delta\lambda=mN\). Les réseaux blazés optimisent l'efficacité de diffraction vers un ordre spécifique.

Réflexion, réfraction et lois de Snell-Descartes

À l'interface entre deux milieux d'indices \(n_1\) et \(n_2\), la loi de Snell-Descartes impose

\[n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_r.\]

Les coefficients de Fresnel (rapport des amplitudes réfléchie/transmise) dépendent de la polarisation. Pour la polarisation TE (s) :

\[r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t},\qquad t_s = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}.\]

Réflexion totale interne et angle de Brewster

La réflexion totale interne se produit pour \(\theta_i > \theta_c = \arcsin(n_2/n_1)\) (\(n_1>n_2\)). Ce phénomène est à la base des fibres optiques et des guides d'onde. L'angle de Brewster \(\theta_B=\arctan(n_2/n_1)\) annule la réflexion de la polarisation TM (p), utilisé dans les lames polarisantes.

Dispersion et arc-en-ciel

L'indice de réfraction dépend de \(\lambda\) (dispersion). L'arc-en-ciel primaire (réflexion interne + 2 réfractions, angle ~42°) et secondaire (~51°) sont des exemples de dispersion angulaire dans les gouttes d'eau.

Fibres optiques

La fibre à saut d'indice (cœur \(n_1\), gaine \(n_2 < n_1\)) guide la lumière par réflexion totale. Les fibres monomodes (diamètre ~9 μm à 1550 nm) portent l'internet mondial avec des débits de plusieurs Tbit/s par fibre.

Acoustique — ondes sonores

Dans un fluide de masse volumique \(\rho_0\) et de compressibilité \(\beta\), la pression acoustique \(p'\) obéit à

\[\frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = c_s^2\nabla^2 p',\qquad c_s = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{1}{\rho_0\beta}},\]

avec \(c_s\approx343\) m/s dans l'air à 20°C. L'intensité sonore et le niveau en décibels :

\[I = \frac{p_{\rm rms}^2}{\rho_0 c_s} = \frac{1}{2}\rho_0 c_s A^2\omega^2,\qquad L_{\rm dB} = 10\log_{10}\!\frac{I}{I_0},\quad I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2.\]

Résonance et modes propres

Un tuyau ouvert de longueur \(L\) résonne sur les harmoniques :

\[f_n = \frac{nc_s}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots\qquad\text{(ouvert-ouvert)},\qquad f_n = \frac{(2n-1)c_s}{4L}\quad\text{(ouvert-fermé)}.\]

Impédance acoustique

L'impédance \(Z=\rho_0 c_s\) gouverne la transmission à l'interface entre deux milieux. Le coefficient de réflexion en puissance est \(R=\left(\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\right)^2\), d'où l'importance de l'adaptation d'impédance en échographie médicale (gel acoustique).

Effet Doppler

Quand la source ou l'observateur est en mouvement relatif, la fréquence reçue est décalée. En acoustique (source de fréquence \(f_0\), vitesse du son \(c\)) :

\[f_{\rm obs} = f_0\,\frac{c + v_{\rm obs}}{c - v_s},\]

où \(v_s\) est la vitesse de la source et \(v_{\rm obs}\) celle de l'observateur (positifs si en rapprochement). Pour \(v_s > c\), il n'y a plus de régime établi : on entre dans le régime supersonique (cône de Mach, angle \(\sin\alpha = c/v_s\)).

Effet Doppler relativiste

En relativité restreinte, pour une source se déplaçant à vitesse \(\beta = v/c\) :

\[f_{\rm obs} = f_0\sqrt{\frac{1-\beta\cos\theta}{1+\beta\cos\theta}}\cdot\frac{1}{\gamma},\quad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]

Le décalage vers le rouge cosmologique (\(z = \Delta\lambda/\lambda\)) est lié à la fois à l'expansion de l'Univers et à l'effet Doppler relativiste. L'astronomie Doppler permet la mesure des vitesses radiales stellaires et la détection d'exoplanètes (méthode des vitesses radiales).

L'effet Doppler ultrasonore est utilisé en échographie-Doppler pour mesurer le flux sanguin et la vitesse du cœur fœtal. Les radars policiers et météorologiques exploitent le décalage Doppler micro-ondes ou laser.

Optique ondulatoire et polarisation

La lumière est une onde électromagnétique transversale. Le champ électrique d'une onde plane polarisée linéairement selon \(\hat x\) est

\[\mathbf{E} = E_0\hat x\cos(kz - \omega t),\qquad \mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\hat y\cos(kz-\omega t).\]

La polarisation elliptique générale est décrite par les paramètres de Stokes \((S_0, S_1, S_2, S_3)\), avec \(S_0^2 \ge S_1^2+S_2^2+S_3^2\). Les lames à retardement (\(\lambda/4\), \(\lambda/2\)) et les polariseurs sont décrits par des matrices de Jones ou de Mueller.

Loi de Malus

\[I = I_0\cos^2\theta.\]

Milieux biréfringents

Dans un cristal biréfringent (deux indices \(n_o\) et \(n_e\)), les polarisations ordinaire et extraordinaire se propagent à des vitesses différentes, engendrant un déphasage \(\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(n_e-n_o)L\). Les cristaux liquides exploitent la biréfringence commandable électriquement (écrans LCD, mésophases).

Cohérence — temporelle et spatiale

La cohérence temporelle est liée à la largeur spectrale \(\Delta\nu\) : le temps de cohérence est \(\tau_c = 1/\Delta\nu\) et la longueur de cohérence \(l_c = c/\Delta\nu\). Pour un laser He-Ne stabilisé, \(l_c\) peut atteindre plusieurs km.

La cohérence spatiale décrit la corrélation entre deux points du front d'onde. Elle est quantifiée par la fonction de cohérence mutuelle \(\Gamma_{12}(\tau) = \langle E_1^*(t)E_2(t+\tau)\rangle\) et le degré de cohérence complexe \(\gamma_{12}\). Le théorème de Van Cittert-Zernike relie la cohérence spatiale à la distribution de la source.

\[\gamma_{12}(\tau) = \frac{\Gamma_{12}(\tau)}{\sqrt{\Gamma_{11}(0)\Gamma_{22}(0)}},\qquad |\gamma_{12}|\in[0,1].\]

La visibilité des franges d'interférence est \(\mathcal{V}=(I_{\rm max}-I_{\rm min})/(I_{\rm max}+I_{\rm min})=|\gamma_{12}(\tau_0)|\) pour des faisceaux d'égale intensité. Les lasers modernes (lasers à cavité externe, OPO, lasers à fibre) atteignent des degrés de cohérence très proches de 1.

Ondes de matière — dualité onde-corpuscule

De Broglie (1924) postule qu'à toute particule de quantité de mouvement \(p\) est associée une longueur d'onde :

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\gamma mv},\qquad k = \frac{p}{\hbar},\qquad \omega = \frac{E}{\hbar}.\]

Pour un électron à 100 eV, \(\lambda \approx 0{,}123\) nm — comparable aux distances interatomiques, d'où la diffraction électronique (LEED, TEM). La relation de dispersion non relativiste est

\[\omega = \frac{\hbar k^2}{2m},\qquad v_g = \frac{\hbar k}{m} = v_{\rm particule},\qquad v_\varphi = \frac{\hbar k}{2m} = \frac{v_{\rm part}}{2}.\]

Un paquet d'ondes de de Broglie se disperse au cours du temps : la largeur spatiale croît comme \(\Delta x(t)\approx\frac{\hbar t}{m\Delta x_0}\), illustrant le principe d'incertitude d'Heisenberg à dynamique quantique. La dispersion d'un paquet cohérent d'atomes froids (condensat de Bose-Einstein, 1995) est utilisée dans les horloges atomiques optiques et les gravimètres quantiques.

Ondes non linéaires — solitons et chocs

Quand l'amplitude de l'onde est grande, les termes non linéaires deviennent importants. L'équation de Korteweg-de Vries (KdV) décrit les ondes de surface en eau peu profonde :

\[\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0.\]

Elle admet des solutions solitoniques — ondes cohérentes de forme invariante maintenue par l'équilibre entre dispersion et non-linéarité :

\[u(x,t) = \frac{v}{2}\mathrm{sech}^2\!\left(\frac{\sqrt{v}}{2}(x-vt)\right).\]

L'équation de Schrödinger non linéaire (NLSE) décrit la propagation dans les fibres optiques à haute puissance :

\[i\frac{\partial A}{\partial z} - \frac{\beta_2}{2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + \gamma|A|^2 A = 0,\]

où \(\beta_2\) est la dispersion chromatique et \(\gamma\) l'indice Kerr non linéaire. Elle admet également des solutions solitoniques (solitons optiques), utilisés dans les télécom longue distance. L'instabilité modulationnelle liée à la NLSE est impliquée dans la formation des vagues scélérates océaniques.

Les solitons ont été observés pour la première fois par John Scott Russell en 1834 dans un canal écossais. Leur étude a révolutionné la physique mathématique et a mené au développement de la méthode de diffusion inverse (IST).

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