Université · Section Mathématiques

Calcul
Infinitésimal

Intégration · Dérivation · Séries · Équations différentielles

1666Newton
&
1675Leibniz
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Histoire du calcul

Le calcul infinitésimal est l’ensemble des outils mathématiques pour étudier les variations continues : dérivées (taux de variation instantané) et intégrales (accumulation). Il est l’un des accomplissements intellectuels les plus importants de l’humanité.

~250 av. J.-C.
Archimède calcule l’aire du parabole et le volume de la sphère par méthode d’exhaustion — premices de l’intégration.
1635
Cavalieri énonce son principe des indivisibles : deux solides de même aire de section ont même volume.
1666
Newton développe la méthode des fluxions (dérivée par rapport au temps) pour résoudre des problèmes de physique. Reste secret jusqu’en 1687.
1675
Leibniz invente indépendamment le calcul avec la notation dy/dx et ∫ (signe somme allongé). Sa notation, plus pratique, s’impose.
1734
Berkeley critique les « fantomes de quantités disparues ». Pousse les mathématiciens à rigueuriser les fondements.
1821
Cauchy fonde l’analyse rigoureuse : définition formelle des limites, continuité, dérivabilité et intégrabilité.
1854
Riemann définit l’intégrale par sommes de subdivisions rectangulaires. Puis Lebesgue (1902) généralise à des fonctions bien plus larges.
1961
Robinson fonde l’analyse non-standard : justification rigoureuse des infiniment petits de Leibniz dans le corps des hyper-réels.
→

Limites & continuité

La notion de limite est le fondement rigoureux de tout le calcul. Elle formalise l’idée qu’une fonction se rapproche d’une valeur sans nécessairement l’atteindre.

Définition ε–δ (Weierstrass)
limx→a f(x) = L  ⇔  ∀ε>0, ∃δ>0 : 0<|x−a|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε

Règles opératoires

  • lim(f+g) = lim f + lim g
  • lim(f·g) = lim f · lim g
  • lim(f/g) = lim f / lim g  (si lim g ≠ 0)
  • lim(fˆg) = f(lim g)  (si f continue)

Limites remarquables

  • limx→0 sin(x)/x = 1
  • limx→0 (1−cos x)/x² = 1/2
  • limx→∞ (1+1/x)x = e
  • limx→0 (ex−1)/x = 1
  • limx→0 ln(1+x)/x = 1

Continuité

f est continue en a si limx→a f(x) = f(a). Les fonctions polynomiales, rationnelles (hors zéros), trigonométriques, exponentielles et logarithmiques sont continues sur leur domaine.

Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a,b] et f(a)<y<f(b), alors ∃c∈]a,b[ avec f(c)=y.

∂

Dérivées

La dérivée mesure le taux de variation instantané d’une fonction : c’est la pente de la tangente à la courbe en un point.

Définition par la limite du taux d’accroissement
f′(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h
Pente de la sécante → tangente quand h → 0 — cliquer pour animer
Fonction f(x)Dérivée f′(x)Conditions
xnn xn−1n ∈ ℝ
exex—
axax ln aa > 0
ln x1/xx > 0
loga x1/(x ln a)x,a>0, a≠1
sin xcos x—
cos x−sin x—
tan x1/cos²x = 1+tan²xx ≠ π/2+kπ
arcsin x1/√(1−x²)|x|<1
arctan x1/(1+x²)—
√x = x1/21/(2√x)x > 0

Règles de calcul

  • Linéarité : (αf + βg)′ = αf′ + βg′
  • Produit : (fg)′ = f′g + fg′
  • Quotient : (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
  • Composition (chaîne) : (fˆg)′(x) = f′(g(x)) · g′(x)
  • Inverse : (f−1)′(y) = 1 / f′(f−1(y))

Théorèmes importants

  • Rolle : f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, f(a)=f(b) ⇒ ∃c, f′(c)=0
  • Valeur moyenne (Lagrange) : ∃c, f′(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a)
  • L’Hôpital : lim f/g = lim f′/g′ (formes indéterminées 0/0 ou ∞/∞)
  • Taylor : f(a+h) = ∑ f(n)(a)/n! · hn + rn
∫

Intégrales

L’intégrale de Riemann de f sur [a,b] est la limite des sommes de Riemann : l’aire algébrique sous la courbe (négative en dessous de l’axe des x).

Intégrale de Riemann
∫ab f(x)dx = limn→∞ ∑i=1n f(xi) Δx  ,  Δx = (b−a)/n
Sommes de Riemann → intégrale — cliquer pour augmenter n
Fonction f(x)Primitive F(x)Conditions
xnxn+1/(n+1) + Cn ≠ −1
1/xln|x| + Cx ≠ 0
exex + C—
axax/ln a + Ca>0, a≠1
sin x−cos x + C—
cos xsin x + C—
1/(1+x²)arctan x + C—
1/√(1−x²)arcsin x + C|x|<1
tan x−ln|cos x| + Ccos x ≠ 0
1/√x2√x + Cx>0
★

Théorème fondamental de l’analyse

Le théorème fondamental de l’analyse (TFA) est la pierre angulaire du calcul : il établit que dérivation et intégration sont des opérations inverses l’une de l’autre.

Partie 1
Primitive par intégrale
F(x) = ∫ax f(t) dt  ⇒  F′(x) = f(x)

Si f est continue, la fonction F définie par une intégrale à borne variable est une primitive de f. La dérivée « défait » l’intégration.

Partie 2
Règle de Barrow (Newton-Leibniz)
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)  [= F(x)]ab

Pour calculer une intégrale définie, il suffit de trouver une primitive F et d’en calculer la différence aux bornes. Cela transforme un problème de limite en calcul algébrique.

Exemple classique

1∫02 x² dxOn cherche une primitive de x²
2F(x) = x³/3Car F′(x) = x² ✓
3= [x³/3]02 = 8/3 − 0 = 8/3Aire sous la parabole entre 0 et 2
🔨

Techniques d’intégration

1. Substitution (changement de variable)

∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du  (u = g(x))

Exemple : ∫ 2x ex² dx. Poser u=x², du=2x dx. → ∫ eu du = eu + C = ex² + C.

2. Intégration par parties (IPP)

∫ u dv = uv − ∫ v du

Exemple : ∫ x ex dx. u=x, dv=exdx. → x ex − ∫ ex dx = x ex − ex + C = (x−1)ex + C.

3. Fractions partielles

P(x)/Q(x) = A/(x−a) + B/(x−b) + …

Exemple : ∫ 1/(x²−1) dx = ∫ 1/2 · [1/(x−1) − 1/(x+1)] dx = ½ ln|(x−1)/(x+1)| + C.

4. Substitution trigonométrique

√(a²−x²) → x=a sin θ
√(a²+x²) → x=a tan θ
√(x²−a²) → x=a sec θ

Exemple : ∫ √(1−x²) dx. x=sinθ, dx=cosθdθ. → ∫ cos²θ dθ = θ/2 + sin(2θ)/4 + C.

5. Intégration par récurrence

In exprimé en In−1 ou In−2

Exemple : In = ∫ sinnx dx. IPP donne In = −sinn−1x cos x/n + (n−1)/n · In−2.

6. Intégrales impropres

∫a+∞ f(x)dx = limb→+∞ ∫ab f(x)dx

Exemple : ∫1∞ 1/x² dx = [−1/x]1∞ = 0+1 = 1. Converge.

Critère : ∫1∞ 1/xp dx converge si et seulement si p>1.

∑

Séries et développements

Une série est la somme d’une suite infinie de termes. Elle converge si ses sommes partielles tendent vers une limite finie.

Série géométrique

∑n=0∞ rn = 1/(1−r)   si |r|<1

Converge si |r|<1. Ex. : 1+1/2+1/4+… = 2

Série de Riemann (p-série)

∑ 1/np converge ⇔ p > 1

Pour p=1 : harmonique, diverge. Pour p=2 : π²/6 (problème de Bâle, Euler).

Développement de Taylor-MacLaurin

f(x) = ∑n=0∞ f(n)(0)/n! xn

Valide dans le rayon de convergence. Permet d’approcher n’importe quelle fonction analytique par un polynôme.

FonctionDéveloppement MacLaurinRayon
ex1 + x + x²/2! + x³/3! + …∞
sin xx − x³/3! + x5/5! − …∞
cos x1 − x²/2! + x4/4! − …∞
ln(1+x)x − x²/2 + x³/3 − …|x| ≤ 1, x≠−1
arctan xx − x³/3 + x5/5 − …|x| ≤ 1
1/(1−x)1 + x + x² + x³ + …|x| < 1
(1+x)α1 + αx + α(α−1)/2! x² + …|x| < 1
𝑓

Équations différentielles ordinaires

Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation reliant une fonction inconnue y(x) et ses dérivées. Elles modélisent la plupart des phénomènes physiques, biologiques et économiques.

1er ordre séparable

y′ = f(x) g(y)  →  ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

Exemple : y′ = ky (croissance exponentielle). Solution : y(t) = y0 ekt. Modèle du désintégration radioactive, de la croissance bactérienne.

1er ordre linéaire

y′ + P(x)y = Q(x)

Résolution par facteur intégrant μ(x) = e∫P(x)dx. Solution : y = (∫ μQ dx + C) / μ.

2e ordre à coefficients constants

ay″ + by′ + cy = f(x)

Solution = générale (homogène) + particulière. L’homogène se résout par l’équation caractéristique ar²+br+c=0 : racines réelles, complexes ou double.

Applications physiques majeures

  • Newton (F=ma) : m x″ = −kx (oscillateur harmonique)
  • Circuit RC : RC dU/dt + U = E(t)
  • Chaleur (Fourier) : ∂T/∂t = k ΔT
  • Logistique : dP/dt = rP(1−P/K)
  • Système proie-prédateur (Lotka-Volterra)