Définition par la limite
La dérivée d’une fonction f en un point a est la limite du taux d’accroissement quand l’accroissement tend vers 0. Géométriquement, c’est la pente de la tangente à la courbe en ce point.
📊 Sens géométrique
f′(a) est la pente de la droite tangente à la courbe y=f(x) au point (a, f(a)). Équation de la tangente : y = f(a) + f′(a)(x − a)
⏱️ Sens physique
Si f(t) est une position, f′(t) est la vitesse instantanée. Si f(t) est une vitesse, f′(t) est l’accélération. La dérivée = taux de variation instantané.
⚖️ Sens économique
La dérivée d’un coût total C(q) est le coût marginal : coût de production d’une unité supplémentaire. Fondamental en microéconomie.
Une fonction est dite dérivable en a si la limite ci-dessus existe et est finie. Elle est dérivable sur un intervalle si elle l’est en chaque point. Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse (ex. : |x| en 0).
Notations historiques
Notation prime. La plus utilisée en cours. f″(x) pour la dérivée seconde, f(n)(x) pour l’ordre n.
Notation fractionnaire. Intuitive (dy infiniment petit / dx infiniment petit). Commode pour la règle de la chaîne : dz/dx = dz/dy · dy/dx.
Point au-dessus (dot notation). Réservée aux dérivées par rapport au temps en physique : ẋ = vitesse, ẋ̇ = accélération.
Notation opérateur. D est l’opérateur de dérivation. Dnf = dérivée n-ième. Commode pour les développements opératoriels.
Dérivée partielle (signe ∂ rond). Utilisée pour les fonctions de plusieurs variables : on dérive par rapport à x en fixant les autres variables.
Différentielle : df = f′(x) dx. La différentielle est l’application linéaire approximant f au voisinage de x. Fondamentale en géométrie différentielle.
Formules de dérivation
c0c constantexnn xn−1n quelconque1/x−1/x2x ≠ 0√x1/(2√x)x > 0x1/n(1/n) x1/n−1x > 0|x|x/|x|x ≠ 0exex—axax ln aa > 0eg(x)g′(x) eg(x)ch. variableln x1/xx > 0loga x1/(x ln a)x,a > 0ln|x|1/xx ≠ 0ln g(x)g′(x)/g(x)g(x) > 0sin xcos x—cos x−sin x—tan x1/cos2xcos x≠0cot x−1/sin2xsin x≠0sin2xsin 2x—cos2x−sin 2x—arcsin x1/√(1−x2)|x|<1arccos x−1/√(1−x2)|x|<1arctan x1/(1+x2)—arccot x−1/(1+x2)—sh xch xhyperboliquech xsh xhyperboliqueth x1/ch2xhyperboliqueRègles de calcul
La dérivation est linéaire : on peut dériver terme à terme. Ex. : (3x2 + 5x)′ = 6x + 5.
Ex. : (x2 sin x)′ = 2x sin x + x2 cos x. Généralisée : (fgh)′ = f′gh + fg′h + fgh′.
Ex. : (sin x / x)′ = (x cos x − sin x) / x2. Moyen mnémotechnique : « bas haut prime − haut bas prime sur bas carré ».
Ex. : (sin(x2))′ = cos(x2) · 2x. En notation Leibniz : dz/dx = dz/dy · dy/dx.
Cas fréquents :
(eg(x))′ = g′(x) eg(x)
(ln g(x))′ = g′(x)/g(x)
([g(x)]n)′ = n g′(x) [g(x)]n−1
Ex. : arcsin′(x) = 1/cos(arcsin x) = 1/√(1−x2). Justifie toutes les formules des fonctions réciproques.
Très utile pour les produits et puissances complexes. Ex. : y = xx → ln y = x ln x → y′/y = ln x+1 → y′ = xx(1+ln x).
Pour les courbes définies implicitement. Ex. : x2+y2=1 → 2x+2y·y′=0 → y′=−x/y.
Dérivées d’ordre supérieur
La dérivée seconde f″(x) = (f′)′(x) mesure la concavité de la courbe : la variation du taux de variation. Elle est fondamentale pour l’étude de la courbure et l’optimisation.
Concavité
f″(x) > 0courbe convexe (concave vers le haut ∩) — tangente en dessousf″(x) < 0courbe concave (concave vers le bas ∨) — tangente au-dessusf″(x) = 0possible point d’inflexion (si changement de signe)Formule de Leibniz
La dérivée n-ième d’un produit fg :
Analogue du binôme de Newton. Très utile pour calculer des dérivées d’ordre élevé de produits.
Dérivées n-ièmes usuelles
(xn)(k)= n!/(n−k)! xn−k si k≤n, sinon 0(ex)(n)= ex(sin x)(n)= sin(x + nπ/2)(cos x)(n)= cos(x + nπ/2)(ln x)(n)= (−1)n−1 (n−1)! / xnApplications des dérivées
📈 Croissance et décroissance
f′(x) > 0 sur I ⇒ f croissante sur I.
f′(x) < 0 sur I ⇒ f décroissante sur I.
f′(x) = 0 en x0 ⇒ x0 est un point critique (extrémum ou inflexion).
🎯 Extrema locaux
Condition nécessaire (Fermat) : si f admet un extrémum en a et est dérivable, alors f′(a)=0.
Test de la dérivée seconde : si f′(a)=0 et f″(a)>0 → minimum local. Si f″(a)<0 → maximum local.
📏 Points d’inflexion
En x0 point d’inflexion si f″ change de signe en x0. La courbe traverse sa tangente. Ex. : f(x)=x3 a un inflexion en 0 (f″(x)=6x change de signe).
𝓃 Newton-Raphson
Algorithme itératif pour trouver les zéros d’une fonction : xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn). Converge quadratiquement près d’une racine simple. Utilisé dans les calculatrices et logiciels.
⟳ Règle de L’Hôpital
Pour les formes indéterminées 0/0 ou ∞/∞ :
lim f/g = lim f′/g′
Ex. : limx→0 sin x/x = limx→0 cos x/1 = 1.
🧮 Approximations linéaires
Au voisinage de a : f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x−a).
Ex. : √(1+ε) ≈ 1 + ε/2 pour ε petit. Utilisé en physique et ingénierie pour linéariser les systèmes.
Dérivées partielles
Pour une fonction de plusieurs variables f(x,y,z…), la dérivée partielle par rapport à x est la dérivée de f par rapport à x quand toutes les autres variables sont maintenues constantes.
Gradient
Vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles. Il pointe dans la direction de plus grande pente et est perpendiculaire aux courbes de niveau.
Matrice jacobienne
Matrice des dérivées partielles d’une application vectorielle. Généralise la dérivée aux applications f : ℜn → ℜm.
Laplacien
Somme des dérivées partielles secondes. Central en physique : équation de la chaleur ∂T/∂t = kΔT, équation de Laplace Δf=0.
Théorème de Schwarz
Si les dérivées partielles d’ordre 2 sont continues, l’ordre de dérivation n’importe pas. Simplifie énormément les calculs.
Optimisation
L’optimisation utilise les dérivées pour trouver les valeurs qui minimisent ou maximisent une quantité. C’est l’une des applications les plus importantes en mathématiques appliquées.
Identifier la fonction à optimiser
Exprimer la quantité à minimiser/maximiser comme fonction d’une ou plusieurs variables. Identifier le domaine de définition et les contraintes.
Trouver les points critiques
Résoudre f′(x) = 0 (une variable) ou ∇f = 0 (plusieurs variables). Ce sont les candidats à l’extrémum.
Tester la nature
Utiliser f″ ou la matrice hessienne (H = (∂2f/∂xi∂xj)). H définie positive → minimum. Définie négative → maximum.
Vérifier les bornes et contraintes
Comparer avec les valeurs aux bornes du domaine. Pour les contraintes : multiplicateurs de Lagrange ∇f = λ∇g (optimisation sous contrainte g(x)=0).