Définition
Une fractale est un objet géométrique dont la structure se répète à toutes les échelles d’observation — propriété appelée auto-similitude. Plus on zoome, plus on retrouve la même complexité. Le terme a été créé en 1975 par Benoît Mandelbrot (du latin fractus : brisé, irrégulier).
Auto-similitude
Chaque partie ressemble au tout, à une transformation près (homothétie, rotation…). Stricte (exacte) ou statistique (approximative).
Dimension fractionnaire
La dimension de Hausdorff-Besicovitch d’une fractale n’est pas entière : 1,585 pour le triangle de Sierpinski, 1,2619 pour la courbe de Koch.
Géométrie itérative
La plupart des fractales sont générées par l’application répétée d’une règle simple (fonction itérée, IFS, système-L…).
Histoire
Auto-similitude
L’auto-similitude est la propriété clé des fractales : une partie de l’objet est une réplique mise à l’échelle de l’ensemble. Elle peut être :
Exacte
La partie est identique au tout (factale géométrique : courbe de Koch, triangle de Sierpinski, flocon). La structure se répète à l’infini sans dégradation.
Quasi-exacte
Les parties ressemblent presque au tout à des échelles différentes (ensemble de Mandelbrot) : à certains endroits on retrouve des mini-Mandelbrots.
Statistique
Les mesures statistiques sont préservées à différentes échelles. C’est le cas des fractales naturelles : côtes, montâgnes, turbulences.
Courbe de Koch (n=4)
Triangle de Sierpinski
Ensemble de Cantor
Dimension fractale
La dimension d’un objet géométrique classique est entière : 0 pour un point, 1 pour une courbe, 2 pour une surface, 3 pour un volume. Les fractales brisent cette règle en ayant des dimensions non entières.
L’ensemble de Mandelbrot
L’ensemble de Mandelbrot est l’une des fractales les plus célèbres. Il est défini dans le plan complexe par l’itération :
c appartient à l’ensemble de Mandelbrot si la suite (zn) reste bornée. Autrement dit : si en itérant la formule, le module |zn| ne tend pas vers l’infini.
La frontière de l’ensemble de Mandelbrot est une fractale de dimension 2 (Shishikura, 1998). Elle est connexe (forme un seul morceau) et localement connexe (conjecture de Yoccoz, partiellement démontrée). On y trouve des mini-Mandelbrots inférieurs à toutes les échelles.
Systèmes de Fonctions Itérées (IFS)
Un IFS est un ensemble de transformations affines contractantes w1, …, wN appliquées aléatoirement (« jeu du chaos »). L’attracteur de l’IFS est la fractale résultante. La fougere de Barnsley en est l’exemple le plus connu :
| w | a | b | c | d | e | f | p |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| w1 | 0 | 0 | 0 | 0,16 | 0 | 0 | 1 % |
| w2 | 0,85 | 0,04 | −0,04 | 0,85 | 0 | 1,6 | 85 % |
| w3 | 0,2 | −0,26 | 0,23 | 0,22 | 0 | 1,6 | 7 % |
| w4 | −0,15 | 0,28 | 0,26 | 0,24 | 0 | 0,44 | 7 % |
Chaque transformation wi = (a,b,c,d,e,f) correspond à une transformation affine du plan (homothétie + rotation + translation). En tirant aléatoirement avec les probabilités données, on obtient l’attracteur.
Fractales dans la nature
La nature abonde en formes fractales. Elles maximisent souvent des surfaces d’échange ou optimisent des structures résistantes à différentes échelles.
Romanesco
Inflorescence arrangée en spirales logûarthmiques auto-similaires. Chaque bourgeon est une copie miniature de l’ensemble.
Flocons de neige
Chaque bras d’un flocon présente une ramification similaire à différentes échelles, modélisée par la courbe de Koch.
Eclairs
La trajectoire d’un éclair suit une dimension fractale d’environ 1,7, résultat de la propagation chaotique dans l’air.
Poumons
Le réseau bronchique se divise 23 fois, multipliant la surface d’échange par un facteur ~70 par rapport à un plan lisse de même taille.
Côtes
Mandelbrot avait posé la question : quelle est la longueur de la côte britannique ? Elle dépend de l’échelle : dimension fractale ~1,25.
Neurones
Les arborescences dendritiques ont une dimension fractale de 1,3–1,7 selon le type cellulaire. Les tumeurs cérébrales altèrent cette dimension.
Applications
📺 Compression d’images
La compression fractale (Barnsley, 1988) encode une image par les paramètres d’un IFS dont l’attracteur l’approche. Taux de compression élevés, mais calcul lent. Moins utilisée depuis JPEG2000.
📶 Antennes fractales
Les antennes à géométrie de Koch ou Sierpinski fonctionnent sur plusieurs fréquences simultanément et s’inscrivent dans un espace réduit. Utilisées dans les smartphones depuis les années 2000.
🎨 Génération de paysages
Le bruit de Perlin et les fractales de mouvement brownien fractionnaire génèrent des reliefs réalistes dans les jeux vidéo et les films d’animation (Star Trek II, 1982 : premier paysage fractal cinématographique).
🏥 Médecine
La dimension fractale de la rétine, du rythme cardiaque (variabilité) ou des os spongieux est un indicateur diagnostique. Une perte de complexité fractale signale souvent une pathologie.
📈 Finance
Mandelbrot a montré que les variations de prix sont « fractales » (invariantes d’échelle). Les queues épaisses des distributions financières ne correspondent pas au modèle gaussien standard.
🌏 Géologie
Les réseaux de drainage, la distribution de la taille des éruptions volcaniques, la fragmentation des roches obéissent à des lois de puissance d’exposant fractal.