Magnétisme — Électromagnétisme & Physique du Solide

Les équations de Maxwell

Les quatre équations de Maxwell constituent le socle de l'électromagnétisme classique. En notation différentielle, dans le vide :

Nom	Forme différentielle	Forme intégrale	Signification
Gauss (E)	∇·E = ρ/ε₀	∮ E·dA = Q/ε₀	Les charges électriques sont sources du champ E
Gauss (B)	∇·B = 0	∮ B·dA = 0	Absence de monopôles magnétiques
Faraday	∇×E = −∂B/∂t	∮ E·dl = −dΦ_B/dt	Un B variable induit un E rotationnel
Ampère–Maxwell	∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t	∮ B·dl = μ₀(I + ε₀dΦ_E/dt)	Les courants et E variable induisent B

En notation plus compacte dans le vide :

\[\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.\]

La relation \(c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx3\times10^8\) m/s établit que la lumière est une onde électromagnétique. En présence de matière polarisable et magnétisable, on introduit les champs \(\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\) et \(\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M}\).

Forme covariante (relativité) : les équations de Maxwell se réécrivent de façon compacte via le tenseur électromagnétique \(F^{\mu\nu}\) : \(\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0 J^\nu\) et \(\partial_{[\mu}F_{\nu\lambda]}=0\).

Force de Lorentz et mouvement des charges

Une charge \(q\) de vitesse \(\mathbf{v}\) dans des champs \(\mathbf{E}\) et \(\mathbf{B}\) subit la force de Lorentz :

\[\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}).\]

La composante magnétique \(q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\) est toujours perpendiculaire à \(\mathbf{v}\) : elle ne fait pas de travail et ne modifie pas l'énergie cinétique, mais courbe la trajectoire.

Mouvement cyclotron

Dans un champ \(\mathbf{B}=B\hat z\) uniforme, une charge se déplace en hélice. La fréquence cyclotron et le rayon de Larmor sont

\[\omega_c=\frac{|q|B}{m},\qquad r_L=\frac{mv_\perp}{|q|B}.\]

Le mouvement de dérive dans des champs croisés \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\) est \(\mathbf{v}_d=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^2\), indépendant de la masse et du signe de la charge.

Loi de Biot–Savart

Le champ créé par un élément de courant \(Id\boldsymbol\ell\) est

\[d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\boldsymbol\ell\times\hat r}{r^2}.\]

Pour un fil infini portant un courant \(I\), on obtient \(B=\mu_0 I/(2\pi r)\) en cercles concentriques.

Dipôle magnétique

Le moment dipolaire magnétique est défini par une boucle de courant \(I\) de surface \(A\) :

\[\mathbf{m}=I A\hat n.\]

Le champ dipolaire à grande distance est

\[\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}\left[3(\mathbf{m}\cdot\hat r)\hat r-\mathbf{m}\right].\]

Dans un champ extérieur \(\mathbf{B}_{\text{ext}}\), l'énergie d'interaction et le couple sont

\[U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}_{\text{ext}},\qquad \boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}_{\text{ext}}.\]

Moment magnétique orbital et de spin

En mécanique quantique, le moment magnétique de l'électron est

\[\boldsymbol{\mu}_L=-\frac{e}{2m_e}\mathbf{L}=-\mu_B\frac{\mathbf{L}}{\hbar},\qquad \boldsymbol{\mu}_S=-g_e\mu_B\frac{\mathbf{S}}{\hbar},\]

où \(\mu_B=e\hbar/(2m_e)\approx9{,}274\times10^{-24}\) J/T est le magnéton de Bohr et \(g_e\approx2{,}002\) le facteur gyromagnétique de l'électron.

Potentiels vecteur et scalaire

Puisque \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\), il existe un potentiel vecteur \(\mathbf{A}\) tel que \(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\). De même, la loi de Faraday permet d'écrire \(\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial\mathbf{A}/\partial t\). Les champs physiques sont invariants sous la transformation de jauge :

\[\mathbf{A}\to\mathbf{A}+\nabla\chi,\qquad \phi\to\phi-\frac{\partial\chi}{\partial t}.\]

Jauge de Coulomb

On impose \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\). L'équation de Poisson pour le potentiel vecteur devient \(\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}\), utile en magnétostatique.

Jauge de Lorenz

On impose \(\nabla\cdot\mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0\), qui conduit à des équations d'onde découplées et manifeste la symétrie de Lorentz.

L'énergie magnétique stockée dans un système est

\[U_B=\frac{1}{2\mu_0}\int B^2\,d^3r=\frac{1}{2}\int\mathbf{J}\cdot\mathbf{A}\,d^3r=\frac{1}{2}LI^2,\]

où \(L\) est l'inductance propre du circuit.

Types de magnétisme dans la matière

La réponse magnétique d'un matériau est caractérisée par la susceptibilité \(\chi_m\) dans \(\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H}\) et la perméabilité relative \(\mu_r=1+\chi_m\).

Diamagnétisme

\(\chi_m<0\), faible. Présent dans tous les matériaux. Dû à la précession de Larmor des électrons.

Paramagnétisme

\(\chi_m>0\), faible. Matériaux à moments permanents désordonnés. Suit la loi de Curie \(\chi=C/T\).

Ferromagnétisme

\(\chi_m\gg1\). Ordre spontané en dessous de \(T_c\). Domaines de Weiss, hystérèse.

D'autres ordres existent : l'antiferromagnétisme (moments alternés, \(\chi\) modéré, présent sous la température de Néel), la ferrimagnétisme (moments antiparallèles inégaux, aimantation nette), et la hélimagnétisme (moments en spirale).

Paramagnétisme et loi de Curie–Weiss

Un gaz de moments magnétiques indépendants \(\mathbf{m}\) dans un champ \(B\) est décrit par la statistique de Boltzmann. Pour un spin \(J\), l'aimantation est

\[M=ng_J\mu_B J\,B_J(x),\qquad x=\frac{g_J\mu_B JB}{k_BT},\]

où \(B_J\) est la fonction de Brillouin :

\[B_J(x)=\frac{2J+1}{2J}\coth\!\left(\frac{(2J+1)x}{2J}\right)-\frac{1}{2J}\coth\!\left(\frac{x}{2J}\right).\]

Dans la limite \(x\ll1\) (champ faible, haute température) :

\[\chi=\frac{M}{H}=\frac{\mu_0 ng_J^2\mu_B^2 J(J+1)}{3k_BT}=\frac{C}{T}\quad\text{(loi de Curie)}.\]

Avec des interactions d'échange entre spins, on obtient la loi de Curie–Weiss :

\[\chi=\frac{C}{T-\Theta},\]

où \(\Theta>0\) signale une transition ferromagnétique et \(\Theta<0\) une tendance antiferromagnétique.

Ferromagnétisme et domaines de Weiss

En dessous de la température de Curie \(T_c\), un couplage d'échange quantique (intégrale d'échange \(J_{\text{ex}}>0\)) aligne les spins spontanément. Le Hamiltonien d'Heisenberg modélise cette interaction :

\[H=-J_{\text{ex}}\sum_{\langle i,j\rangle}\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j-g\mu_B\sum_i\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{B}.\]

La théorie du champ moyen de Weiss prédit une aimantation spontanée satisfaisant l'équation auto-cohérente :

\[M=nM_s B_J\!\left(\frac{g_J\mu_B J(\lambda M+B_{\text{ext}})}{k_BT}\right),\]

où \(\lambda\) est le paramètre du champ moléculaire. La température de Curie est \(T_c=\lambda C\).

Domaines et parois de Bloch

Le matériau se divise en domaines d'aimantation uniforme séparés par des parois de Bloch d'épaisseur \(\delta_w\sim\pi\sqrt{A/K}\), où \(A\) est la rigidité d'échange et \(K\) l'anisotropie magnétocristalline. L'application d'un champ déplace les parois et aligne les domaines, produisant le cycle d'hystérèse.

Le ferromagnétisme est à la base des mémoires magnétiques (disques durs), des transformateurs, des moteurs électriques et des matériaux d'aimants permanents (NdFeB, SmCo).

Induction électromagnétique

La loi de Faraday–Lenz stipule que la f.e.m. induite dans un circuit est

\[\mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B}{dt},\qquad \Phi_B=\int\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.\]

Le signe négatif (loi de Lenz) indique que le courant induit s'oppose à la variation qui lui donne naissance. Pour deux circuits couplés, les coefficients d'inductance mutuelle \(M_{12}=M_{21}\) (théorème de Neumann) sont

\[M_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_1\oint_2\frac{d\boldsymbol\ell_1\cdot d\boldsymbol\ell_2}{r_{12}}.\]

Équations de circuit RL et LC

Un circuit RL soumis à une tension \(\mathcal{E}\) satisfait \(L\dot I+RI=\mathcal{E}\), avec constante de temps \(\tau=L/R\). Un circuit LC oscille librement à \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\), illustrant la conversion alternée entre énergie magnétique (\(LI^2/2\)) et électrique (\(CU^2/2\)).

Effet Hall et ses généralisations

Dans un conducteur portant un courant \(I_x\) sous un champ \(B_z\), une tension transverse \(V_H=R_H I_x B_z/d\) apparaît. Le coefficient de Hall \(R_H=1/(nq)\) donne la densité et le signe des porteurs. L'effet Hall quantique (Von Klitzing, 1980) et l'effet Hall quantique fractionnaire (1982) révèlent la topologie de la structure de bandes électroniques.

Ondes électromagnétiques

Dans le vide (\(\rho=0\), \(\mathbf{J}=0\)), les équations de Maxwell se découplent en équations d'onde :

\[\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,\qquad \nabla^2\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0.\]

Les ondes planes transverses \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\perp\hat k\) se propagent à la vitesse \(c\). Le vecteur de Poynting décrit le flux d'énergie :

\[\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B},\qquad \langle S\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}=\frac{\varepsilon_0 c E_0^2}{2}.\]

Dans un milieu de perméabilité \(\mu_r\) et permittivité \(\varepsilon_r\), la vitesse de phase devient \(v=c/n\) avec \(n=\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}\). La pression de radiation exercée sur une surface absorbante est \(P_{\rm rad}=\langle S\rangle/c\).

Spin et moment magnétique quantique

L'électron possède un moment angulaire intrinsèque (spin) \(s=1/2\), avec \(m_s=\pm1/2\). La composante \(z\) du moment magnétique de spin est

\[\mu_z=-g_e\mu_B m_s=\mp\mu_B\quad\text{(pour }g_e\approx2\text{)}.\]

La correction QED au facteur \(g\) est calculée à haute précision :

\[g_e=2\left(1+\frac{\alpha}{2\pi}-\frac{0{,}328\,\alpha^2}{\pi^2}+\cdots\right)\approx2{,}002\,319\,304\ldots\]

En physique du solide, les électrons de conduction obéissent à la susceptibilité de Pauli :

\[\chi_{\rm Pauli}=\mu_0\mu_B^2\mathcal{D}(E_F),\]

où \(\mathcal{D}(E_F)\) est la densité d'états au niveau de Fermi, indépendante de \(T\) à basse température (contrairement à la loi de Curie).

Résonance magnétique nucléaire (RMN)

Dans un champ \(\mathbf{B}_0=B_0\hat z\), les niveaux de spin nucléaire (spin \(I\)) sont séparés en énergie par

\[\Delta E=\hbar\gamma B_0,\qquad f_0=\frac{\gamma B_0}{2\pi}\quad\text{(fréquence de Larmor)}.\]

Un pulse radiofréquence à \(f_0\) bascule l'aimantation hors équilibre. Sa relaxation vers l'équilibre est décrite par les équations de Bloch :

\[\frac{dM_z}{dt}=\frac{M_0-M_z}{T_1},\qquad\frac{dM_{x,y}}{dt}=-\frac{M_{x,y}}{T_2}\pm\omega_0 M_{y,x},\]

où \(T_1\) est le temps de relaxation longitudinale (spin-réseau) et \(T_2\) le temps transversal (spin-spin). La RMN est à la base de l'IRM médicale et de la spectroscopie chimique.

Supraconductivité et effet Meissner

Un supraconducteur expulse totalement le champ magnétique de son volume (effet Meissner, \(\mathbf{B}=0\)) pour \(T

\[\mathbf{J}_s=-\frac{n_s e^2}{m}\mathbf{A},\qquad \nabla\times\mathbf{J}_s=-\frac{n_s e^2}{m}\mathbf{B},\]

impliquant une décroissance exponentielle du champ pénétrant avec la longueur de pénétration \(\lambda_L=\sqrt{m/(\mu_0 n_s e^2)}\).

La théorie microscopique BCS (Bardeen–Cooper–Schrieffer, 1957) décrit le condensat de paires de Cooper liées par phonons. La densité d'états présente un gap \(\Delta\) autour du niveau de Fermi :

\[\Delta(0)\approx1{,}76\,k_BT_c.\]

Les supraconducteurs à haute \(T_c\) (cuprates, ferropnictides, hydrures sous pression) restent un domaine de recherche actif — le mécanisme d'appariement dans les cuprates n'est pas encore pleinement compris.

Quantification du flux et jonction Josephson

Le flux magnétique à travers une boucle supraconductrice est quantifié : \(\Phi=n\Phi_0\), \(\Phi_0=h/(2e)\approx2{,}07\times10^{-15}\) Wb. L'effet Josephson (courant tunnel Cooper entre deux supraconducteurs séparés par une barrière fine) fonde les SQUIDs, capteurs magnétiques ultrasensibles, et les qubits supraconducteurs en informatique quantique.