Physique Quantique — Traité Avancé

Postulats formels et cadre diracien

Le cadre moderne de la mécanique quantique s'énonce dans le langage de Dirac : à un système isolé est associé un espace de Hilbert complexe séparable \(\mathcal{H}\) ; un état pur est un rayon projectif \([\psi]\) avec \(\psi \in \mathcal{H}\setminus\{0\}\), l'amplitude de transition entre \(\phi\) et \(\psi\) étant portée par le produit scalaire \(\langle \phi,\psi\rangle\). Les observables sont représentées par des opérateurs auto-adjoints densément définis, et la probabilité d'obtenir une valeur dans un borélien \(\Delta\subset\mathbb{R}\) vaut

\[\mu_\psi^A(\Delta)=\langle \psi,E_A(\Delta)\psi\rangle,\]

où \(E_A\) est la mesure spectrale de \(A\). État pur et mixte :

\[\text{État pur :}\ \rho_\psi = |\psi\rangle\langle \psi|,\qquad\text{état mixte :}\ \rho \ge 0,\ \mathrm{Tr}\,\rho = 1.\]

La composition de systèmes impose la règle tensorielle \(\mathcal{H}_{AB}=\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B\), origine géométrique de l'intrication. Les symétries continues sont représentées unitairement (théorème de Wigner). Pour une symétrie à un paramètre \(U(t)\), le théorème de Stone fournit un générateur auto-adjoint \(H\) tel que \(U(t)=e^{-itH/\hbar}\).

Note fondamentale : l'invariance de phase globale \(\psi\sim e^{i\alpha}\psi\) prépare l'émergence des symétries locales de jauge en QFT.

Les cinq postulats fondamentaux

On peut résumer la mécanique quantique en cinq postulats : (1) État — tout état est un vecteur normé de \(\mathcal{H}\) ; (2) Évolution — gouvernée par l'équation de Schrödinger ; (3) Observables — opérateurs auto-adjoints ; (4) Mesure — projection de von Neumann ; (5) Systèmes composés — produit tensoriel.

Espace de Hilbert rigoureux

Un espace de Hilbert \(\mathcal{H}\) est un espace vectoriel complet pour la norme induite par un produit scalaire hermitien. La complétude garantit l'existence de limites de suites de Cauchy, essentielle pour les expansions spectrales et l'approximation variationnelle.

Topologie

La topologie forte est celle induite par la norme. La topologie faible est définie par la convergence de toutes les formes linéaires \(\phi\mapsto\langle u,\phi\rangle\). En dimension infinie, les boules fermées sont compactes seulement en topologie faible (Banach–Alaoglu).

Bases orthonormales

Une famille \(\{e_n\}\) est orthonormale si \(\langle e_n,e_m\rangle=\delta_{nm}\). Si elle est totale : \(\psi=\sum_n\langle e_n,\psi\rangle e_n\) avec identité de Parseval \(\|\psi\|^2=\sum_n|c_n|^2\).

\[\psi = \sum_{n} c_n e_n,\qquad c_n=\langle e_n,\psi\rangle,\qquad \|\psi\|^2 = \sum_n |c_n|^2.\]

Le triplet de Gelfand \(\Phi\subset\mathcal{H}\subset\Phi'\) permet de traiter rigoureusement les états généralisés \(|x\rangle\), \(|p\rangle\) :

\[\Phi=\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)\subset L^2(\mathbb{R}^d)\subset \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d).\]

Opérateurs auto-adjoints, domaines et extensions

En dimension infinie, un observable est un opérateur potentiellement non borné défini sur un domaine dense \(\mathcal{D}(A)\subset\mathcal{H}\). Distinctions essentielles :

Symétrique : \(\langle A\psi,\phi\rangle=\langle\psi,A\phi\rangle\) pour \(\psi,\phi\in\mathcal{D}(A)\) ;
Auto-adjoint : \(A=A^*\) et \(\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(A^*)\) ;
Essentiellement auto-adjoint : sa fermeture \(\overline{A}\) est auto-adjointe.

\[\hat p = -i\hbar \frac{d}{dx},\qquad \mathcal{D}(\hat p)=H^1(\mathbb{R})\]

est essentiellement auto-adjoint sur \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\). Le critère de von Neumann utilise les indices de déficience \(n_\pm=\dim\ker(A^*\mp i)\) : extensions auto-adjointes iff \(n_+=n_-\).

\[\mathcal{D}(A_U)=\{\psi+\psi_++U\psi_+:\ \psi\in\mathcal{D}(\overline{A}),\ \psi_+\in\ker(A^*-i)\},\]

où \(U:\ker(A^*-i)\to\ker(A^*+i)\) est unitaire.

Théorème spectral

Pour tout opérateur auto-adjoint \(A\), il existe une unique mesure spectrale projective \(E_A\) sur les boréliens de \(\mathbb{R}\) telle que

\[A = \int_{\mathbb{R}} \lambda\, dE_A(\lambda),\qquad f(A)=\int_{\mathbb{R}} f(\lambda)\, dE_A(\lambda)\]

pour toute fonction borélienne appropriée. Dans le cas continu (\(\hat p\) sur \(L^2(\mathbb{R})\)) :

\[\mathbf{1}=\int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle\langle p|\,dp,\qquad \hat p = \int_{-\infty}^{\infty} p\, |p\rangle\langle p|\, dp.\]

L'évolution temporelle est \(U(t)=e^{-itH/\hbar}=\int e^{-it\lambda/\hbar}\,dE_H(\lambda)\). Le spectre peut être purement ponctuel (états liés), absolument continu (états de diffusion) ou singulièrement continu.

Commutateurs, algèbres et structures de symétrie

La relation canonique fondamentale est

\[[\hat x_i,\hat p_j]=i\hbar\,\delta_{ij}\mathbf{1},\qquad [\hat x_i,\hat x_j]=0,\qquad [\hat p_i,\hat p_j]=0.\]

Elle engendre l'algèbre de Heisenberg. L'inégalité de Robertson–Schrödinger s'écrit

\[(\Delta A)^2(\Delta B)^2 \ge \left(\frac{1}{2i}\langle [A,B]\rangle\right)^2 +\left(\frac{1}{2}\langle \{A-\langle A\rangle,B-\langle B\rangle\}\rangle\right)^2,\]

soit \(\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2\) pour position et impulsion. Les commutateurs quantifient les crochets de Poisson :

\[\{f,g\}_{\text{P.B.}} \longrightarrow \frac{1}{i\hbar}[\hat f,\hat g].\]

L'algèbre de moment cinétique \(\mathfrak{su}(2)\) :

\[[J_i,J_j]=i\hbar\,\varepsilon_{ijk}J_k,\qquad J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2.\]

Théorème de Noether quantique

Si \([H,G]=0\), alors la valeur moyenne de \(G\) est conservée lors de l'évolution temporelle. Chaque symétrie continue génère un invariant : translation → impulsion, rotation → moment cinétique, translation temporelle → énergie.

Équation de Schrödinger et principe variationnel

L'évolution unitaire et le théorème de Stone donnent l'équation abstraite

\[i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle.\]

Dans l'espace des positions, après quantification canonique \(p\mapsto-i\hbar\nabla\) :

\[i\hbar \partial_t \psi(x,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(x,t)\right)\psi(x,t).\]

Dérivation variationnelle

L'action quantique complexe est

\[S[\psi,\psi^*]=\int dt \int d^3x\, \left[\frac{i\hbar}{2}\left(\psi^*\partial_t\psi-(\partial_t\psi^*)\psi\right) -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^*\cdot\nabla\psi -V|\psi|^2\right].\]

La variation par rapport à \(\psi^*\) reproduit l'équation de Schrödinger. La conservation du courant de probabilité suit de la symétrie de phase globale (Noether) :

\[j=\frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right),\qquad \partial_t|\psi|^2+\nabla\cdot j=0.\]

Image de Heisenberg et de Dirac

Dans l'image de Heisenberg, les opérateurs évoluent et les états restent fixes : \(\dot{A}_H = \frac{i}{\hbar}[H,A_H] + \partial_t A\). L'image d'interaction (Dirac) sépare l'évolution libre de la perturbation, utile pour la théorie des perturbations dépendante du temps.

Représentations position / impulsion et transformée de Fourier

La transition entre représentations est la transformée de Fourier unitaire :

\[\phi(p)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-ip\cdot x/\hbar}\psi(x)\, d^dx,\qquad \psi(x)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d} e^{ip\cdot x/\hbar}\phi(p)\, d^dp.\]

L'unitarité donne Parseval \(\int|\psi(x)|^2 d^dx=\int|\phi(p)|^2 d^dp\).

Fonction de Wigner

La quasi-distribution en espace des phases est

\[W_\psi(x,p)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^d}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-ip\cdot y/\hbar}\,\psi\!\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^*\!\left(x-\frac{y}{2}\right)d^dy.\]

Bien que non positive en général, elle relie analyse harmonique, limite classique et théorie des pseudo-différentiels. Les marginales reproduisent les densités de probabilité en position et en impulsion.

Oscillateur harmonique — résolution complète

L'Hamiltonien unidimensionnel \(H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat x^2\) se résout par les opérateurs d'échelle

\[a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\!\left(\hat x+\frac{i}{m\omega}\hat p\right),\qquad a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\!\left(\hat x-\frac{i}{m\omega}\hat p\right),\qquad [a,a^\dagger]=1.\]

\[H=\hbar\omega\!\left(N+\frac{1}{2}\right),\quad N=a^\dagger a;\qquad |n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle,\quad H|n\rangle=\hbar\omega\!\left(n+\tfrac12\right)|n\rangle.\]

Les fonctions propres dans l'espace des positions font intervenir les polynômes d'Hermite :

\[\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} H_n\!\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}.\]

L'oscillateur harmonique est le modèle fondamental des vibrations moléculaires, de la quantification des modes de champ électromagnétique et de l'approximation quadratique des minima classiques.

Théorie des perturbations stationnaires et dépendantes du temps

Pour \(H=H_0+\lambda V\), avec spectre non dégénéré \(H_0|n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}|n^{(0)}\rangle\) :

\[E_n^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle,\qquad E_n^{(2)}=\sum_{m\neq n}\frac{|\langle m^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}.\]

La perturbation dépendante du temps conduit à l'opérateur d'évolution en image d'interaction :

\[U_I(t,t_0)=\mathcal{T}\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} V_I(t')\,dt'\right).\]

La règle d'or de Fermi donne le taux de transition dans la limite de temps long :

\[\Gamma_{n\to m}=\frac{2\pi}{\hbar}|\langle m|V|n\rangle|^2 \rho(E_m).\]

Cas dégénéré

En présence de dégénérescence, il faut diagonaliser la restriction de \(V\) au sous-espace propre dégénéré avant de calculer les corrections. L'effet Stark (champ électrique sur l'atome) et l'effet Zeeman (champ magnétique) en sont des exemples classiques.

Intégrale de chemin de Feynman

L'amplitude de transition est

\[K(x_b,t_b;x_a,t_a)=\langle x_b|e^{-iH(t_b-t_a)/\hbar}|x_a\rangle = \int_{x(t_a)=x_a}^{x(t_b)=x_b}\mathcal{D}x(t)\, e^{\frac{i}{\hbar}S[x]},\]

avec \(S[x]=\int_{t_a}^{t_b}L(\dot x,x)\,dt\). En découpant l'intervalle en \(N\) tranches et appliquant la formule de Trotter :

\[K=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi i\hbar\varepsilon}\right)^{N/2} \int\prod_{j=1}^{N-1}dx_j\,\exp\!\left(\frac{i}{\hbar}\sum_{j=0}^{N-1}\varepsilon\,L\!\left(\frac{x_{j+1}-x_j}{\varepsilon},x_j\right)\right).\]

La limite semi-classique \(\hbar\to 0\) est dominée par les trajectoires classiques \(\delta S=0\). Après rotation de Wick \(t\mapsto-i\tau\), l'amplitude euclidienne se transforme en poids de Boltzmann \(e^{-S_E/\hbar}\), central en théorie statistique.

Intrication, matrices densité et entropie de von Neumann

Dans \(\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B\), le théorème de Schmidt assure :

\[|\Psi\rangle = \sum_{k}\sqrt{\lambda_k}\,|u_k\rangle_A\otimes|v_k\rangle_B,\qquad\lambda_k\ge 0,\ \sum_k\lambda_k=1.\]

Les matrices densité réduites sont obtenues par trace partielle : \(\rho_A=\mathrm{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)\). L'entropie d'intrication :

\[S(\rho_A)=-\mathrm{Tr}(\rho_A\ln\rho_A)=-\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k.\]

Pour l'état de Bell \(|\Phi^+\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2}\), on a \(\rho_A=\mathbf{1}/2\) et \(S=\ln 2\). Les corrélations non locales violent les inégalités de Bell, réfutant les théories locales à variables cachées (théorème de Bell, 1964 ; expériences d'Aspect, 1982 ; prix Nobel Aspect, Clauser, Zeilinger 2022).

Décohérence et systèmes ouverts

Un système \(S\) couplé à un environnement \(E\) évolue vers

\[\left(\sum_i c_i|s_i\rangle\right)\otimes|E_0\rangle \longrightarrow \sum_i c_i|s_i\rangle\otimes|E_i\rangle.\]

En traçant sur l'environnement, si les états \(|E_i\rangle\) deviennent quasi-orthogonaux, les cohérences hors-diagonales s'effondrent dans la base des « pointer states ». La dynamique markovienne complètement positive obéit à l'équation de Lindblad :

\[\dot\rho=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]+\sum_k\!\left(L_k\rho L_k^\dagger-\frac12\{L_k^\dagger L_k,\rho\}\right).\]

La décohérence explique la suppression pratique des superpositions macroscopiques sans résoudre le problème de la mesure dans sa totalité — question encore ouverte (interprétation de Copenhague, de Everett, des histoires décoexistantes…).

Spin et algèbre SU(2)

Le spin est un degré de liberté intrinsèque sans analogue classique. Pour un spin \(1/2\), l'espace d'états est \(\mathbb{C}^2\), et les opérateurs sont proportionnels aux matrices de Pauli :

\[\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad S_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i.\]

Elles satisfont \([\sigma_i,\sigma_j]=2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) et \(\sigma_i^2=\mathbf{1}\). L'état le plus général d'un qubit :

\[|\psi\rangle=\cos\frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle+e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}|\downarrow\rangle\]

est paramétré par la sphère de Bloch \((\theta,\varphi)\). La précession de spin dans un champ magnétique \(\mathbf{B}=B\hat z\) est gouvernée par \(H=-\gamma\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}\), avec fréquence de Larmor \(\omega_L=\gamma B\). L'addition de moments cinétiques suit les règles de Clebsch-Gordan.

Introduction à la théorie quantique des champs

La variable fondamentale devient le champ \(\phi(x)\). Pour le champ scalaire libre :

\[\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12 m^2\phi^2,\qquad (\Box+m^2)\phi=0.\]

La quantification canonique impose \([\phi(t,\mathbf{x}),\pi(t,\mathbf{y})]=i\hbar\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\), et le développement en modes :

\[\phi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf p}}}\left(a_{\mathbf p}e^{-ip\cdot x}+a_{\mathbf p}^\dagger e^{ip\cdot x}\right),\qquad E_{\mathbf p}=\sqrt{\mathbf p^2+m^2}.\]

L'Hamiltonien est une somme de modes harmoniques. Le formalisme de l'intégrale de chemin fonctionnelle est

\[Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\,\exp\!\left\{\frac{i}{\hbar}\int d^4x\left(\mathcal{L}+J\phi\right)\right\}.\]

Interactions et théorème de Wick

Pour un champ \(\phi^4\) avec \(\mathcal{L}_{\rm int}=-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\), la théorie des perturbations exprime les fonctions de Green en termes de diagrammes de Feynman. Le théorème de Wick réduit les produits temporellement ordonnés de champs aux propagateurs de Feynman \(\Delta_F(x-y)=\langle 0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle\).

La renormalisation gère les divergences ultraviolettes par redéfinition des paramètres de la théorie, et le groupe de renormalisation décrit l'évolution des couplages avec l'échelle d'énergie — pont conceptuel vers la liberté asymptotique de QCD et la physique des transitions de phase.