Proton — Structure Hadronique & QCD

Structure en quarks du proton

Le proton n'est pas une particule élémentaire mais un état lié baryonique de la QCD de contenu de valence \(uud\). Sa structure complète comprend une mer de paires \(q\bar q\) et des gluons virtuels. La masse du proton (938,3 MeV/c²) n'est que très partiellement due aux masses nues des quarks (quelques MeV chacun) : elle provient surtout de l'énergie cinétique des quarks confinés et de l'énergie du champ chromatique.

up · charge +2/3 · rouge

up · charge +2/3 · vert

down · charge −1/3 · bleu

Charge totale : \(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=+1\). Nombre baryonique : \(B=3\times\frac{1}{3}=1\). Les quarks de valence portent environ 30% de l'impulsion totale du proton ; le reste est porté par les gluons et la mer de quarks.

La découverte expérimentale de la structure partonique du proton (SLAC, 1969) a valu le prix Nobel à Friedman, Kendall et Taylor (1990) et a confirmé l'existence des quarks.

Lagrangien de la chromodynamique quantique

Le lagrangien fondamental de QCD est une théorie de jauge non abélienne de groupe \(SU(3)_c\) :

\[\mathcal L_{\text{QCD}}= \sum_f \bar q_f \left(i\gamma^\mu D_\mu - m_f\right)q_f -\frac14 G^a_{\mu\nu}G^{a\,\mu\nu},\]

avec la dérivée covariante et le tenseur de champ chromatique

\[D_\mu = \partial_\mu - ig_s T^a A_\mu^a,\qquad G^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu + g_s f^{abc}A^b_\mu A^c_\nu.\]

Le terme non linéaire \(g_sf^{abc}A^b_\mu A^c_\nu\) exprime l'auto-interaction des gluons, caractéristique décisive des théories non abéliennes. Il donne naissance aux vertex triple et quartique des gluons, sources des phénomènes non perturbatifs comme le confinement.

Constantes de structure

Les constantes \(f^{abc}\) sont entièrement antisymétriques. Les générateurs \(T^a=\lambda^a/2\) satisfont \(\mathrm{Tr}(T^aT^b)=\frac{1}{2}\delta^{ab}\) et le quadrimir de Casimir \(C_2(\mathbf{3})=\frac{4}{3}\).

Symétrie chirale

Dans la limite \(m_u,m_d\to 0\), le Lagrangien admet une symétrie chirale \(U(2)_L\times U(2)_R\). Sa brisure spontanée produit les pions comme pseudo-bosons de Goldstone, avec \(m_\pi^2\propto m_q\).

Symétrie SU(3) couleur

Les quarks portent une charge de couleur transformant selon la représentation fondamentale \(\mathbf{3}\) de \(SU(3)\). Les gluons appartiennent à l'adjointe \(\mathbf{8}\). Les générateurs \(T^a=\lambda^a/2\) vérifient

\[[T^a,T^b]=i f^{abc}T^c.\]

Le proton physique est un état globalement singulet de couleur. La combinaison antisymétrique en couleur

\[|p\rangle \sim \varepsilon^{abc}|u_a u_b d_c\rangle \otimes |\text{spin, saveur}\rangle\]

permet la symétrie totale (Fermi) des autres degrés de liberté. Le fait que seuls les singulets de couleur soient observables est l'une des manifestations du confinement.

Matrices de Gell-Mann

Les huit matrices \(\lambda^1\dots\lambda^8\) généralisent les matrices de Pauli à \(3\times3\). Parmi elles, \(\lambda_3\) et \(\lambda_8\) sont diagonales (isospin et hypercharge), permettant la classification des hadrons sur le diagramme de Gell-Mann–Okubo.

Confinement

Le confinement désigne l'absence d'états asymptotiques colorés. Le potentiel quark–antiquark à grande distance croit linéairement :

\[V(r)\simeq -\frac{4}{3}\frac{\alpha_s}{r}+\sigma r,\qquad \sigma\approx 0{,}18\ \text{GeV}^2,\]

avec une tension de corde \(\sigma\). Séparer des quarks coûte une énergie telle qu'il devient favorable de créer des paires supplémentaires plutôt que d'isoler une charge colorée — phénomène de hadronisation.

La démonstration analytique du confinement en QCD à \(3+1\) dimensions reste un problème du millénaire du Clay Mathematics Institute, lié à la preuve d'existence et au gap de masse de Yang–Mills.

Potentiel de Cornell

Le potentiel phénoménologique \(V(r)=-\kappa/r+\sigma r\) (Cornell, 1975) rend compte des spectres de quarkonium (\(c\bar c\), \(b\bar b\)). Le terme linéaire reflète la formation d'un flux tube de champ chromatique entre les quarks.

Données de QCD sur réseau

Les calculs de lattice-QCD (action de Wilson) confirment la croissance linéaire du potentiel en accord avec \(\sigma\approx 0{,}18\) GeV². La boucle de Wilson \(\langle W[C]\rangle\sim e^{-\sigma\cdot\text{Area}}\) est le critère analytique du confinement.

Liberté asymptotique

À haute énergie, le couplage fort décroît. La fonction bêta à une boucle est

\[\beta(g_s)=\mu\frac{dg_s}{d\mu}=-\frac{g_s^3}{16\pi^2}\left(11-\frac{2}{3}N_f\right)+O(g_s^5),\]

soit, en termes de \(\alpha_s=g_s^2/(4\pi)\) :

\[\mu^2\frac{d\alpha_s}{d\mu^2}=-\frac{b_0}{2\pi}\alpha_s^2-\frac{b_1}{4\pi^2}\alpha_s^3-\cdots,\qquad b_0=11-\frac{2}{3}N_f.\]

Pour \(N_f\le 16\), le coefficient est négatif : le couplage devient faible à grande échelle d'impulsion \(\alpha_s(M_Z)\approx 0{,}118\). La solution de l'équation du groupe de renormalisation à une boucle est

\[\alpha_s(\mu^2)=\frac{2\pi}{b_0\ln(\mu/\Lambda_{\text{QCD}})},\qquad \Lambda_{\text{QCD}}\approx 200\ \text{MeV}.\]

La liberté asymptotique a été découverte en 1973 par Gross, Politzer et Wilczek (prix Nobel 2004). Elle rend la QCD perturbative dans les collisions proton–proton à haute énergie (LHC).

Gluons et auto-interaction chromatique

Les huit gluons sont les quanta du champ de jauge de \(SU(3)\). Contrairement au photon, ils portent eux-mêmes de la couleur (paire couleur–anticouleur) et interagissent entre eux via des vertex triple et quartique :

\[\mathcal{L}_{\text{gluon}} = -\frac14 G^a_{\mu\nu}G^{a\,\mu\nu} \supset -g_s f^{abc}(\partial_\mu A^a_\nu)A^{b\mu}A^{c\nu} - \frac{g_s^2}{4}f^{abc}f^{ade}A^b_\mu A^c_\nu A^{d\mu}A^{e\nu}.\]

L'auto-interaction engendre :

Le confinement et la formation de flux tubes chromatiques ;
Les condensats de gluons \(\langle G^a_{\mu\nu}G^{a\,\mu\nu}\rangle\neq 0\) (structure du vide QCD) ;
Les glueballs — états liés purement gluoniques, cherchés expérimentalement ;
La contribution dominante (≈ 50%) à l'impulsion totale du proton.

Fonctions de distribution partonique et équations de DGLAP

Les fonctions de distribution partonique (PDF) \(f_i(x,Q^2)\) donnent la densité de probabilité de trouver un parton de type \(i\) portant une fraction \(x\) de l'impulsion longitudinale à l'échelle \(Q^2\). Les règles de somme contraignent :

\[\sum_i\int_0^1 x f_i(x,Q^2)\,dx=1\quad\text{(conservation de l'impulsion)},\qquad \int_0^1[f_u-f_{\bar u}]\,dx=2.\]

L'évolution en \(Q^2\) obéit aux équations de DGLAP (Dokshitzer–Gribov–Lipatov–Altarelli–Parisi) :

\[\frac{\partial f_i(x,Q^2)}{\partial\ln Q^2}=\frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi}\sum_j\int_x^1\frac{dz}{z}\,P_{ij}\!\left(\frac{x}{z}\right)f_j(z,Q^2),\]

où \(P_{ij}\) sont les fonctions de splittage (Altarelli–Parisi). Les PDFs sont extraites globalement d'expériences de diffusion profondément inélastique (DIS), de Drell–Yan, de production de jets et de bosons W/Z.

Facteurs de forme électromagnétiques

La section efficace de diffusion élastique \(ep\to ep\) s'exprime via les facteurs de Sachs \(G_E(Q^2)\) et \(G_M(Q^2)\), reliés aux densités de charge et de courant dans l'espace de Breit. Mesures récentes (PRad @ JLab) donnent le rayon de charge : \(r_p\approx 0{,}831\) fm.

Crise du spin du proton

La décomposition du spin du proton (\(s=1/2\)) est

\[\frac12=\frac12\Delta\Sigma+\Delta G+L_q+L_g,\]

où \(\Delta\Sigma\) est la contribution de spin des quarks, \(\Delta G\) celle des gluons et \(L_{q,g}\) les moments orbitaux. L'expérience EMC (CERN, 1988) a montré que \(\Delta\Sigma\approx 0{,}15\ll 1\), contredisant l'hypothèse naïve du modèle de quarks. Cette crise du spin a motivé des décennies de mesures (COMPASS, HERMES, RHIC-SPIN) et des études théoriques sur le rôle des gluons et des moments orbitaux.

Les données actuelles indiquent \(\Delta\Sigma\approx0{,}30\), \(\Delta G\approx0{,}2\mbox{–}0{,}4\). La décomposition complète reste un sujet actif, notamment avec le futur EIC (Electron-Ion Collider, BNL).

QCD sur réseau (Lattice QCD)

La QCD sur réseau discrétise l'espace-temps euclidien en une grille de pas \(a\). Les liens de jauge \(U_\mu(x)=e^{iag_sA^a_\mu(x)T^a}\in SU(3)\) remplacent les champs de jauge continus. L'action de Wilson est

\[S_W=\beta\sum_{x,\mu<\nu}\left(1-\frac{1}{3}\mathrm{Re}\,\mathrm{Tr}\,U_{\mu\nu}(x)\right),\qquad \beta=\frac{6}{g_s^2},\]

où \(U_{\mu\nu}\) est la boucle de plaquette. La limite continue est obtenue pour \(a\to0\) à \(\beta\to\infty\). Les intégrales de chemin sont évaluées par méthode Monte Carlo (algorithme HMC). Les prédictions de masse du proton obtenues par lattice-QCD (\(\approx938\) MeV) constituent un test fondamental du modèle standard.

Rayon de charge et structure spatiale

Le rayon de charge du proton est défini par le développement du facteur de forme électrique :

\[G_E(Q^2)=1-\frac{Q^2}{6}\langle r^2\rangle_E+O(Q^4),\qquad r_p=\sqrt{\langle r^2\rangle_E}.\]

La crise du rayon du proton (2010–2019) opposait les mesures par diffusion \(ep\) (\(r_p\approx0{,}877\) fm, CODATA) aux mesures par spectroscopie de l'hydrogène muonique (\(r_p\approx0{,}842\) fm, PSI). Des mesures plus récentes et raffinées (PRad, 2019) donnent \(r_p=0{,}831\pm0{,}014\) fm, cohérentes avec les valeurs muoniques. Cette crise a stimulé le développement de méthodes expérimentales et théoriques de précision.

Le proton est une fenêtre unique sur la QCD non perturbative : sa structure, son spin, son rayon de charge et ses interactions avec d'autres hadrons condensent la richesse de la théorie des champs de jauge non abélienne.