Algèbre — Mathématiques

§ 1 Structures algébriques

Définition — Groupe

Un groupe $(G, \star)$ est un ensemble $G$ muni d'une loi $\star$ vérifiant :

Associativité : $\forall a,b,c \in G,\ (a \star b)\star c = a\star(b\star c)$
Élément neutre : $\exists e \in G,\ \forall a\in G,\ e\star a = a\star e = a$
Inverses : $\forall a\in G,\ \exists a^{-1}\in G,\ a\star a^{-1} = e$

Si $\star$ est commutative, le groupe est abélien.

Exemples

$(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{Q}, +)$, $(\mathbb{R}, +)$, $(\mathbb{C}, +)$ : groupes abéliens
$(\mathbb{R}^*, \times)$, $(\mathbb{C}^*, \times)$ : groupes multiplicatifs
$(\mathfrak{S}_n, \circ)$ : groupe symétrique (non abélien pour $n \geq 3$)
$(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \times)$ : groupe linéaire général
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ : groupe cyclique d'ordre $n$

Morphismes et sous-groupes

Définition — Morphisme

$f:(G,\star)\to(H,\cdot)$ est un morphisme si $f(a\star b)=f(a)\cdot f(b)$. Le noyau $\ker f = f^{-1}(e_H)$ est un sous-groupe distingué de $G$.

Théorème de Lagrange

Si $G$ est fini et $H \leq G$, alors $|H|$ divise $|G|$ et $[G:H] = |G|/|H|$.

On partitionne $G$ en classes latérales $aH$, toutes de même cardinal $|H|$, disjointes. Leur nombre $[G:H]$ vérifie $|G| = [G:H]\cdot|H|$. □

Premier théorème d'isomorphisme

Si $f: G \to H$ est un morphisme de groupes :

$$G / \ker f \;\cong\; \mathrm{Im}\, f.$$

Anneaux et corps

Définitions

Un anneau $(A, +, \times)$ : $(A,+)$ groupe abélien, $\times$ associative et distributive sur $+$.
Un corps $(K, +, \times)$ : anneau commutatif où tout élément non nul est inversible. Exemples : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{F}_p$.

§ 2 Espaces vectoriels

Définition

Un espace vectoriel sur $K$ est un ensemble $E$ muni de $+$ et d'une multiplication scalaire $K\times E\to E$, tels que $(E,+)$ est abélien et les axiomes de compatibilité sont vérifiés.

Théorème de la base

Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base. Toutes les bases ont le même cardinal : la dimension $\dim E$.

Formule de Grassmann

$$\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$$

Somme directe

$E = F \oplus G \Leftrightarrow (F + G = E)$ et $(F \cap G = \{0\})$. Tout vecteur de $E$ s'écrit uniquement $f + g$, $f\in F$, $g\in G$.

§ 3 Applications linéaires

Définition

$f : E \to F$ est linéaire si $\forall \lambda, \mu \in K,\ \forall u,v \in E$ : $$f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v).$$

Théorème du rang

$$\dim \ker f + \dim \mathrm{Im}\, f = \dim E$$

Soit $(e_1,\ldots,e_k)$ base de $\ker f$. On complète en base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$. Alors $(f(e_{k+1}),\ldots,f(e_n))$ est base de $\mathrm{Im}\, f$, d'où $\dim\mathrm{Im}\,f = n-k$. □

Changement de base

Si $P$ est la matrice de passage $\mathcal{B}\to\mathcal{B}_1$, la matrice d'un endomorphisme se transforme en $M' = P^{-1}MP$ (matrices semblables).

§ 4 Matrices

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ : matrices $n\times p$ sur $K$. $\mathcal{M}_n(K) = \mathcal{M}_{n,n}(K)$ est un anneau (non commutatif si $n\geq 2$).

Opération	Condition	Résultat
$A + B$	$A,B\in\mathcal{M}_{n,p}$	$(A+B)_{ij} = A_{ij}+B_{ij}$
$AB$	$A\in\mathcal{M}_{n,p}$, $B\in\mathcal{M}_{p,q}$	$(AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$
$A^\top$	$A\in\mathcal{M}_{n,p}$	$(A^\top)_{ij}=A_{ji}$
$A^{-1}$	$\det A\neq 0$	$AA^{-1}=I_n$

Théorème de Rouché–Fontené

Le système $AX=B$ admet des solutions $\Leftrightarrow\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A|B)$. L'ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension $p - \mathrm{rg}(A)$.

§ 5 Déterminants

Définition — Développement de Laplace

$$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, M_{ij}$$

Cas $n=2$ : $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc$

Propriétés

$\det(AB) = \det A \cdot \det B$
$\det A^\top = \det A$
$A$ inversible $\Leftrightarrow \det A \neq 0$
$\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$

Formule de Cramer

$$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det A}$$

$A_j$ = matrice $A$ avec la colonne $j$ remplacée par $B$.

§ 6 Valeurs propres et diagonalisation

Polynôme caractéristique

$$\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$$

Les valeurs propres de $A$ sont les racines de $\chi_A$ dans $K$. Le sous-espace propre associé à $\lambda$ : $E_\lambda = \ker(A - \lambda I_n)$.

Théorème de Cayley–Hamilton

$$\chi_A(A) = 0$$

Critère de diagonalisation

$A$ est diagonalisable sur $K$ ssi $\chi_A$ est scindé sur $K$ et pour chaque $\lambda_i$, $\dim E_{\lambda_i} = m_i$ (mult. géom. = mult. algébrique).

Blocs de Jordan

$$J_i(\lambda_i) = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i\end{pmatrix}$$

§ 7 Formes bilinéaires

Définition

$\varphi: E\times E\to K$ bilinéaire symétrique est un produit scalaire si définie positive ($\varphi(x,x)\geq 0$, $= 0\Rightarrow x=0$).

Théorème de Sylvester (loi d'inertie)

Toute forme bilinéaire symétrique réelle se réduit à :

$$\sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q} x_i^2$$

La signature $(p, q)$ et le rang $r = p+q$ sont des invariants.

Polarisation

$$\varphi(x,y) = \tfrac{1}{4}\bigl[q(x+y) - q(x-y)\bigr]$$

§ 8 Algèbre des polynômes

$K[X]$ est un anneau principal. Tout idéal est de la forme $(P)$ pour un unique $P$ unitaire.

Théorème de d'Alembert–Gauss

$\mathbb{C}$ est algébriquement clos : tout $P\in\mathbb{C}[X]$ de degré $n\geq 1$ a exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (avec multiplicités).

Polynôme minimal

Le polynôme minimal $\mu_A$ est le polynôme unitaire de plus bas degré annulant $A$. Il divise $\chi_A$ et a les mêmes facteurs irréductibles. $A$ est diagonalisable $\Leftrightarrow \mu_A$ est scindé à racines simples.

Fractions rationnelles

Toute fraction $F = P/Q$ (avec $Q$ scindé, $\deg P < \deg Q$) se décompose en éléments simples : $\displaystyle\sum_{k,\alpha} \frac{a_{k,\alpha}}{(X-\alpha)^k}$. Technique clé pour l'intégration.