Géométrie — Mathématiques

01 Géométrie affine

Espace affine

$(\mathcal{E}, \overrightarrow{\mathcal{E}}, +)$ : ensemble $\mathcal{E}$ (points) sur lequel $(\overrightarrow{\mathcal{E}},+)$ agit librement et transitivement. Pour $A,B\in\mathcal{E}$, $\overrightarrow{AB}$ est l'unique vecteur tel que $B = A + \overrightarrow{AB}$.

Barycentre

Le barycentre de $(A_i, \lambda_i)$ avec $\sum\lambda_i\neq 0$ est l'unique point $G$ tel que $\sum\lambda_i\overrightarrow{GA_i}=\vec{0}$.

Intersection de sous-espaces affines

$$\dim(\mathcal{F}\cap\mathcal{G}) = \dim\mathcal{F} + \dim\mathcal{G} - \dim(\mathcal{F}+\mathcal{G})$$

02 Espaces euclidiens

Inégalité de Cauchy–Schwarz

$$|\langle u, v\rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\|$$

Égalité $\Leftrightarrow$ $u$ et $v$ colinéaires.

$\|u+tv\|^2 = \|u\|^2 + 2t\langle u,v\rangle + t^2\|v\|^2 \geq 0$ pour tout $t\in\mathbb{R}$. Le discriminant est $\leq 0$, d'où $4\langle u,v\rangle^2 \leq 4\|u\|^2\|v\|^2$. □

Identités euclidiennes

Parallélogramme : $\|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2\|u\|^2 + 2\|v\|^2$
Pythagore : $u\perp v \Rightarrow \|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$

Gram–Schmidt

$$u_k = v_k - \sum_{i

Projection orthogonale

Si $F$ est sous-espace, $\forall v\in E : v = p_F(v) + q$, $p_F(v)\in F$, $q\in F^\perp$. $p_F(v)$ est le point de $F$ le plus proche de $v$.

03 Isométries

Groupe orthogonal

$\mathrm{O}(n) = \{M : M^\top M = I_n\}$, $|\det M| = 1$. $\mathrm{SO}(n) = \{M\in\mathrm{O}(n) : \det M = 1\}$ : groupe des rotations.

Isométrie plane	Matrice (BON)	Points fixes
Rotation d'angle $\theta$	$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$	Origine
Réflexion axiale	$\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$	Droite de l'axe

Formule de Rodrigues (rotation dans $\mathbb{R}^3$)

$$R_{\hat{u},\theta}(v) = v\cos\theta + (\hat{u}\times v)\sin\theta + \hat{u}(\hat{u}\cdot v)(1-\cos\theta)$$

04 Produit vectoriel et mixte

Produit vectoriel dans $\mathbb{R}^3$

$$u\times v = \begin{vmatrix}\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$$

$\|u\times v\| = \|u\|\|v\|\sin\theta$ : aire du parallélogramme.

Produit mixte

$$[u,v,w] = (u\times v)\cdot w = \det(u,v,w)$$

$|[u,v,w]|$ : volume du parallélépipède.

05 Coniques

Conique	Équation réduite	Excentricité
Ellipse	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$	$e = c/a < 1$
Parabole	$y^2 = 4px$	$e = 1$
Hyperbole	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$	$e = c/a > 1$

Équation polaire (foyer à l'origine)

$$r = \frac{p}{1 - e\cos\theta}$$

Propriété de l'ellipse

$\forall M$ sur l'ellipse : $MF_1 + MF_2 = 2a$. Propriété réflective : tout rayon issu de $F_1$ passe par $F_2$ après réflexion.

06 Courbes paramétrées

Longueur d'arc et courbure

$$\ell = \int_a^b\|\gamma'(t)\|\,dt, \qquad \kappa = \frac{|\dot x\ddot y - \ddot x\dot y|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$$

Courbes classiques

Cycloïde : $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ — brachistochrone
Cardioïde : $r=a(1+\cos\theta)$, aire $= 3\pi a^2/2$
Astroïde : $x=a\cos^3 t$, $y=a\sin^3 t$
Lemniscate de Bernoulli : $(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)$

07 Surfaces et quadriques

Quadrique	Équation réduite
Ellipsoïde	$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$
Paraboloïde elliptique	$z = x^2/a^2+y^2/b^2$
Paraboloïde hyperbolique	$z = x^2/a^2-y^2/b^2$
Hyperboloïde à 1 nappe	$x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1$
Cône	$x^2/a^2+y^2/b^2=z^2/c^2$

08 Géométrie différentielle

Première forme fondamentale

$$ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$$

$E=\|\mathbf{r}_u\|^2$, $F=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v$, $G=\|\mathbf{r}_v\|^2$.

Courbures

Gauss : $K = \kappa_1\kappa_2$ ($K>0$ : elliptique ; $K=0$ : parabolique ; $K<0$ : hyperbolique)
Moyenne : $H = \tfrac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2)$ ; $H=0$ : surface minimale

Theorema Egregium de Gauss

La courbure de Gauss $K$ est un invariant intrinsèque : elle se conserve par isométrie locale et ne dépend que de la première forme fondamentale.