Calcul différentiel — Mathématiques

§ 1 Suites réelles

Limite d'une suite

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon.$$

Théorèmes fondamentaux

Monotone bornée : toute suite croissante majorée converge.
Gendarmes : si $u_n\leq v_n\leq w_n$ et $u_n,w_n\to\ell$, alors $v_n\to\ell$.
Bolzano–Weierstrass : toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

Suite de Cauchy et complétude

$(u_n)$ est de Cauchy si $\forall\varepsilon>0, \exists N, \forall m,n\geq N : |u_m-u_n|<\varepsilon$. Dans $\mathbb{R}$ : de Cauchy $\Leftrightarrow$ convergente.

§ 2 Limites et continuité

Limite de fonction

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon.$$

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ est continue et $y\in[f(a),f(b)]$ (ou $[f(b),f(a)]$), alors $\exists c\in[a,b] : f(c)=y$.

Par dichotomie : on subdivise $[a,b]$ en deux et on garde l'intervalle où $f-y$ change de signe. Les suites $a_n\nearrow$, $b_n\searrow$ avec $b_n-a_n\to 0$ convergent vers $c$, et par continuité $f(c)=y$. □

Théorème de Weierstrass

Toute fonction continue sur $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes (maximum et minimum).

§ 3 Dérivation

Nombre dérivé

$$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Fonction	Dérivée
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$1/x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1+\tan^2 x$
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$
$u\cdot v$	$u'v + uv'$
$u/v$	$(u'v-uv')/v^2$
$f\circ g$	$(f'\circ g)\cdot g'$

Formule de Leibniz

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$$

§ 4 Théorèmes fondamentaux de l'analyse

Théorème de Rolle

Si $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et $f(a)=f(b)$, alors $\exists c\in]a,b[ : f'(c)=0$.

Théorème des accroissements finis

$$\exists c \in\ ]a,b[\ :\ f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).$$

Poser $g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$. Alors $g(a)=g(b)=0$. Par Rolle, $\exists c : g'(c)=0$, i.e. $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. □

Règle de L'Hôpital

Si $f(a)=g(a)=0$ et $f'/g'\to\ell$, alors $f/g\to\ell$. Également valable pour les formes $\infty/\infty$.

§ 5 Développements limités

Formule de Taylor–Young

$$f(a+h) = \sum_{k=0}^n \frac{h^k}{k!}f^{(k)}(a) + o(h^n)$$

Fonction	DL à l'ordre $n$ en $0$
$e^x$	$\displaystyle 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$\cos x$	$\displaystyle 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + o(x^n)$
$\sin x$	$\displaystyle x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + o(x^n)$
$\ln(1+x)$	$\displaystyle x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha$	$\displaystyle 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots + o(x^n)$
$\arctan x$	$\displaystyle x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + o(x^n)$

§ 6 Intégration

Théorème fondamental du calcul

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, alors $F'=f$ et :

$$\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).$$

Intégration par parties

$$\int_a^b u\,v'\,dt = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,dt$$

Changement de variable

$$\int_a^b f(g(t))g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

$f(x)$	Primitive $F(x)$
$x^n$ ($n\neq-1$)	$x^{n+1}/(n+1)$
$1/x$	$\ln\|x\|$
$e^{\alpha x}$	$e^{\alpha x}/\alpha$
$1/(1+x^2)$	$\arctan x$
$1/\sqrt{1-x^2}$	$\arcsin x$

§ 7 Séries numériques

Convergence

$\sum u_n$ converge si $S_N = \sum_{n=0}^N u_n$ converge. Condition nécessaire : $u_n\to 0$.

Critère	Condition
Géométrique	$\sum q^n$ converge $\Leftrightarrow\|q\|<1$, somme $1/(1-q)$
Riemann	$\sum 1/n^\alpha$ converge $\Leftrightarrow\alpha>1$
d'Alembert	$\|u_{n+1}/u_n\|\to L<1$ : converge ; $L>1$ : diverge
Leibniz	$\sum(-1)^n a_n$ converge si $a_n\searrow 0$

Rayon de convergence (Hadamard)

$$R = \frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}}$$

§ 8 Fonctions de plusieurs variables

Différentiabilité et gradient

$f$ est différentiable en $a$ s'il existe une forme linéaire $L$ telle que $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)$. Le gradient $\nabla f(a) = (\partial f/\partial x_i)$.

Règle de la chaîne

$$J_{f\circ g}(x) = J_f(g(x)) \cdot J_g(x)$$

Multiplicateurs de Lagrange

Si $f$ admet un extremum en $a$ sous la contrainte $g(a)=0$ :

$$\nabla f(a) = \lambda\, \nabla g(a)$$

Théorème de Schwarz

Si les dérivées secondes sont continues : $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$.