Nombres complexes — Mathématiques

§ 1 Définition et construction de ℂ

Construction algébrique

Le corps $\mathbb{C}$ est l'ensemble $\mathbb{R}^2$ muni des lois :

$$(a,b)+(c,d) = (a+c,\, b+d)$$

$$(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd,\, ad+bc)$$

On note $i = (0,1)$, d'où $i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) = -1$. Tout $z=(a,b)$ s'écrit $z = a + ib$.

Structure algébrique

$(\mathbb{C}, +, \times)$ est un corps commutatif contenant $\mathbb{R}$ comme sous-corps. C'est le plus petit corps algébriquement clos contenant $\mathbb{R}$. $\mathbb{C}$ n'est pas un corps ordonné.

Conjugué

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar z = a - ib$. Propriétés :

$\overline{z+w} = \bar z + \bar w$, $\overline{zw} = \bar z\,\bar w$, $\overline{\bar z} = z$
$z\in\mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar z$ ; $z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\bar z$
$\mathrm{Re}(z) = \dfrac{z+\bar z}{2}$, $\mathrm{Im}(z) = \dfrac{z-\bar z}{2i}$
Si $P\in\mathbb{R}[X]$ et $P(z)=0$, alors $P(\bar z)=0$ (les racines complexes non réelles viennent par paires conjuguées)

§ 2 Forme algébrique et opérations

Opérations en forme $a+ib$

Avec $z=a+ib$ et $w=c+id$ :

$z+w = (a+c)+i(b+d)$
$z\cdot w = (ac-bd)+i(ad+bc)$
$z^{-1} = \dfrac{\bar z}{|z|^2} = \dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$ (si $z\neq 0$)
$\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\bar w}{|w|^2} = \dfrac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}$

Calcul de $\dfrac{2+3i}{1-2i}$

$$\frac{2+3i}{1-2i} = \frac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{2+4i+3i+6i^2}{1+4} = \frac{2-6+7i}{5} = -\frac{4}{5}+\frac{7}{5}i$$

Parties réelle et imaginaire

$\mathrm{Re}(z) = a$ est la partie réelle, $\mathrm{Im}(z) = b$ la partie imaginaire de $z=a+ib$. L'axe des réels $\mathbb{R}$ est l'axe horizontal du plan d'Argand, l'axe imaginaire $i\mathbb{R}$ est l'axe vertical.

§ 3 Module et argument

Module

$$|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z} \geq 0$$

Propriétés : $|zw|=|z||w|$, $|z^{-1}|=|z|^{-1}$, $|\bar z|=|z|$, $|z+w|\leq|z|+|w|$ (inégalité triangulaire).

Argument

L'argument $\arg(z)$ de $z\neq 0$ est l'angle orienté (mod $2\pi$) entre l'axe réel positif et $\overrightarrow{OM}$. $\arg$ est défini modulo $2\pi$. L'argument principal $\mathrm{Arg}(z)\in]-\pi,\pi]$.

$$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta), \quad \theta = \arg(z)$$

Propriétés : $\arg(zw) = \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$, $\arg(z^n) = n\arg z$, $\arg(\bar z) = -\arg z$.

Calcul de l'argument

Pour $z=a+ib\neq 0$ :

$a>0$ : $\arg z = \arctan(b/a)$
$a<0, b\geq 0$ : $\arg z = \arctan(b/a) + \pi$
$a<0, b<0$ : $\arg z = \arctan(b/a) - \pi$
$a=0, b>0$ : $\arg z = \pi/2$ ; $a=0, b<0$ : $\arg z = -\pi/2$

§ 4 Formule d'Euler et forme exponentielle

Formule d'Euler

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \quad (\theta\in\mathbb{R})$$

La fonction $f(\theta)=e^{i\theta}$ vérifie $f'=if$, $f(0)=1$. La fonction $g(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ vérifie $g'=ig$, $g(0)=1$. Par unicité des solutions de $y'=iy$, $f=g$. Alternativement, comparer les développements en série entière de $e^{i\theta}$, $\cos\theta$, $\sin\theta$. □

Formule de Moivre

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \quad (n\in\mathbb{Z})$$

Application : exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en puissances de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, et inversement.

Formules d'Euler inverses

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

Ces formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques, de calculer des intégrales et des sommes de séries.

Identité d'Euler

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

Cette identité relie les cinq constantes fondamentales $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$. Elle est souvent citée comme la plus belle formule des mathématiques.

Exponentielle complexe

Pour $z=a+ib\in\mathbb{C}$ :

$$e^z = e^{a+ib} = e^a(\cos b + i\sin b)$$

Propriétés : $e^{z+w}=e^ze^w$, $|e^z|=e^{\mathrm{Re}(z)}$, $\arg(e^z)=\mathrm{Im}(z)$. L'exponentielle complexe est $2i\pi$-périodique : $e^{z+2i\pi}=e^z$.

§ 5 Racines n-ièmes de l'unité

Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n=1$ sont les $n$ racines de l'unité :

$$\omega_k = e^{2ik\pi/n} = \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}, \quad k=0,1,\ldots,n-1$$

Elles forment un groupe cyclique d'ordre $n$, engendré par $\omega=e^{2i\pi/n}$ (racine primitive). Elles sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

Propriétés des racines de l'unité

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = 0, \qquad \prod_{k=0}^{n-1}\omega_k = (-1)^{n+1}$$

$$z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega_k)$$

Racines n-ièmes d'un complexe quelconque

Les racines $n$-ièmes de $r e^{i\theta}$ sont :

$$z_k = r^{1/n}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}, \quad k=0,1,\ldots,n-1$$

Il y a toujours exactement $n$ racines, équiréparties sur un cercle de rayon $r^{1/n}$.

Racines carrées de $i$

$i = e^{i\pi/2}$, donc $z_0 = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ et $z_1 = e^{i5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$.

Vérification : $z_0^2 = \frac{1}{2}(1+i)^2 = \frac{1}{2}(2i) = i$ ✓

Racines cubiques de l'unité ($j = e^{2i\pi/3}$)

$$1,\quad j = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad j^2 = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

$1+j+j^2=0$, $j^3=1$. Factorisation : $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a+bj+cj^2)(a+bj^2+cj)$.

§ 6 Fonctions holomorphes

Dérivée complexe et holomorphie

$f:\Omega\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ est holomorphe en $z_0$ si la limite :

$$f'(z_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$

existe dans $\mathbb{C}$ (la limite est la même quelle que soit la direction de $h\to 0$). On dit aussi $f$ est analytique complexe.

Équations de Cauchy–Riemann

Si $f=u+iv$ ($u,v$ réels), $f$ est holomorphe en $z_0=x_0+iy_0$ $\Leftrightarrow$ $u,v$ sont différentiables et :

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

$f'(z_0)$ doit être indépendant de la direction. Limite selon $h\to 0$ réel : $f'=\partial_xu+i\partial_xv$. Limite selon $h=ik$ réel : $f'=\frac{1}{i}(\partial_yu+i\partial_yv)=\partial_yv-i\partial_yu$. En égalisant parties réelles et imaginaires, on obtient les équations CR. □

Fonctions élémentaires holomorphes

Fonction	Expression	Singularités
$e^z$	$\sum z^n/n!$	Aucune (entière)
$\sin z$	$(e^{iz}-e^{-iz})/2i$	Aucune
$\cos z$	$(e^{iz}+e^{-iz})/2$	Aucune
$\ln z$	$\ln\|z\|+i\arg z$	Coupure : $]-\infty,0]$
$z^n$	polynôme	Aucune
$1/z$		Pôle en $0$

Théorème de Cauchy (intégrale)

Si $f$ est holomorphe dans un domaine simplement connexe $\Omega$ et $\gamma$ est un lacet dans $\Omega$ :

$$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$$

Et pour tout $z_0$ intérieur au lacet :

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$

§ 7 Équations algébriques dans ℂ

Théorème fondamental de l'algèbre (d'Alembert–Gauss)

$\mathbb{C}$ est algébriquement clos : tout polynôme $P\in\mathbb{C}[X]$ de degré $n\geq 1$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (comptées avec multiplicité).

$$P(X) = a_n\prod_{k=1}^n(X-z_k) \in \mathbb{C}[X]$$

Équation du second degré dans ℂ

$az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb{C}$, $a\neq 0$. On calcule $\delta = b^2-4ac\in\mathbb{C}$, puis une racine carrée $\sqrt{\delta}$ (deux valeurs opposées).

$$z = \frac{-b\pm\sqrt{\delta}}{2a}$$

Cette formule s'applique aussi quand $\delta\in\mathbb{C}$ n'est pas un réel positif.

Résolution de $z^2 - 2iz - (1+2i) = 0$

$\delta = (-2i)^2 + 4(1+2i) = -4+4+8i = 8i$.

$\sqrt{8i} = \sqrt{8}e^{i\pi/4} = 2\sqrt{2}\cdot\frac{1+i}{\sqrt{2}} = 2(1+i)$.

Solutions : $z = \frac{2i\pm 2(1+i)}{2}$, soit $z_1 = 1+2i$ et $z_2 = -1$.

Transformations de Möbius

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}, \quad ad-bc\neq 0$$

Ce sont les automorphismes de la sphère de Riemann $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}$. Elles envoient cercles et droites sur cercles et droites, et sont conformes (conservent les angles).

§ 8 Applications géométriques et physiques

Interprétation géométrique

Translation : $z\mapsto z+a$ (translation de vecteur $\overrightarrow{a}$)
Rotation : $z\mapsto e^{i\theta}z$ (rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine)
Homothétie : $z\mapsto rz$ ($r>0$, rapport $r$)
Similitude directe : $z\mapsto \omega z + b$ ($\omega=re^{i\theta}$)
Symétrie axiale : $z\mapsto \bar z$ (réflexion par rapport à l'axe réel)

Rotation autour d'un point $a$

La rotation d'angle $\theta$ autour de $a\in\mathbb{C}$ est : $z\mapsto a + e^{i\theta}(z-a) = e^{i\theta}z + a(1-e^{i\theta})$.

Transformée de Fourier et analyse harmonique

La transformée de Fourier utilise les exponentielles complexes :

$$\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,e^{-2\pi ix\xi}\,dx$$

Les fonctions $e^{2i\pi n x}$ forment une base hilbertienne de $L^2([0,1])$ (séries de Fourier).

Fonction de transfert et systèmes linéaires

En électronique/automatique, on pose $s=j\omega$ ($j=i$ en physique) et on travaille dans le plan de Laplace. La réponse harmonique est $H(j\omega)=|H|\,e^{i\varphi}$ où $|H|$ est le gain et $\varphi$ le déphasage. Diagrammes de Bode : $20\log|H|$ et $\varphi$ en fonction de $\log\omega$.

Théorème des résidus

Pour calculer des intégrales réelles $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$, on peut utiliser le théorème des résidus de Cauchy en intégrant $f$ sur un contour semi-circulaire dans $\mathbb{C}$ :

$$\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k}\mathrm{Res}(f,z_k)$$

où la somme porte sur les pôles $z_k$ à l'intérieur du contour, et $\mathrm{Res}(f,z_k) = \lim_{z\to z_k}(z-z_k)f(z)$ pour un pôle simple.