Topologie — Mathématiques

§ 1 Espaces topologiques

Définition — Topologie

Une topologie sur un ensemble $X$ est une collection $\mathcal{T}\subset\mathcal{P}(X)$ vérifiant :

$\emptyset\in\mathcal{T}$ et $X\in\mathcal{T}$
Toute réunion (quelconque) d'éléments de $\mathcal{T}$ est dans $\mathcal{T}$
Toute intersection finie d'éléments de $\mathcal{T}$ est dans $\mathcal{T}$

Les éléments de $\mathcal{T}$ sont les ouverts. Un espace topologique est la paire $(X,\mathcal{T})$.

Exemples de topologies

Topologie grossière (indiscrète) : $\mathcal{T}=\{\emptyset, X\}$
Topologie discrète : $\mathcal{T}=\mathcal{P}(X)$ (tous les sous-ensembles sont ouverts)
Topologie usuelle sur $\mathbb{R}$ : unions d'intervalles ouverts
Topologie de Zariski : fermés = zéros de polynômes (en algèbre commutative)
Topologie co-dénombrable : $U\in\mathcal{T} \Leftrightarrow X\setminus U$ dénombrable ou $U=\emptyset$

Fermés, adhérence, intérieur, frontière

Un fermé est le complémentaire d'un ouvert. Pour $A\subset X$ :

$\bar A = \bigcap\{F : F \text{ fermé}, A\subset F\}$ : adhérence (plus petit fermé contenant $A$)
$\mathring A = \bigcup\{U : U \text{ ouvert}, U\subset A\}$ : intérieur
$\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ : frontière
$A$ est dense dans $X$ si $\bar A = X$

Base d'une topologie

$\mathcal{B}\subset\mathcal{T}$ est une base de $\mathcal{T}$ si tout ouvert est réunion d'éléments de $\mathcal{B}$. $\mathcal{B}$ est une base ssi $\forall x\in X, \forall U\in\mathcal{T}, x\in U \Rightarrow \exists B\in\mathcal{B} : x\in B\subset U$.

§ 2 Continuité topologique

Définition — Application continue

$f:(X,\mathcal{T}_X)\to(Y,\mathcal{T}_Y)$ est continue si l'image réciproque de tout ouvert de $Y$ est un ouvert de $X$ :

$$f \text{ continue} \Leftrightarrow \forall V\in\mathcal{T}_Y,\ f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X.$$

Caractérisations équivalentes

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est continue
$f^{-1}(F)$ est fermé pour tout fermé $F\subset Y$
$f(\bar A)\subset\overline{f(A)}$ pour tout $A\subset X$
Pour tout $x\in X$ et tout voisinage $V$ de $f(x)$, $f^{-1}(V)$ est voisinage de $x$

Homéomorphisme

$f:X\to Y$ est un homéomorphisme si $f$ est une bijection continue à inverse continue. $X$ et $Y$ sont homéomorphes s'il en existe un. Les propriétés topologiques sont les propriétés invariantes par homéomorphisme.

Exemples d'homéomorphismes

$\mathbb{R} \cong ]0,1[$ via $x\mapsto\arctan(x)/\pi + 1/2$
La sphère $S^n\setminus\{N\}\cong\mathbb{R}^n$ (projection stéréographique)
Un nœud toroïdal n'est pas homéomorphe à un cercle plongé trivialement (même si tous deux sont homéomorphes à $S^1$)

§ 3 Compacité

Définition — Espace compact

$(X,\mathcal{T})$ est compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini : $$\forall (U_i)_{i\in I},\ X=\bigcup_{i\in I}U_i \Rightarrow \exists J\subset I \text{ fini}: X=\bigcup_{j\in J}U_j.$$

Théorème de Heine–Borel (dans $\mathbb{R}^n$)

Un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

($\Rightarrow$) Compact $\Rightarrow$ fermé (dans un espace séparé), et borné (recouvrement par boules de rayon $n$ admet un ss-recouvrement fini, donc $X\subset$ boule de rayon $N$). ($\Leftarrow$) Fermé et borné dans $\mathbb{R}^n$ : par Bolzano-Weierstrass, toute suite admet une sous-suite convergente dans le fermé. En général (Heine), propriété équivalente à la compacité séquentielle dans les espaces métriques. □

Propriétés des compacts

Image continue d'un compact est compacte
Fermé dans un compact est compact
Compact dans un séparé (Hausdorff) est fermé
Produit fini de compacts est compact (Tychonoff fini)
$f$ continue sur un compact est uniformément continue (Heine)
$f$ continue sur un compact atteint ses bornes (Weierstrass)

Théorème de Tychonoff

Un produit quelconque (même infini) d'espaces compacts est compact (pour la topologie produit). Ce théorème est équivalent à l'axiome du choix.

§ 4 Connexité

Définition — Espace connexe

$X$ est connexe s'il ne peut pas être partitionné en deux ouverts disjoints non vides. Équivalent : les seuls sous-ensembles à la fois ouverts et fermés (clopen) sont $\emptyset$ et $X$.

Image continue d'un connexe

L'image d'un espace connexe par une application continue est connexe. En particulier, le TVI est un cas particulier : $f$ continue sur $[a,b]$ (connexe) prend toutes les valeurs intermédiaires.

Connexité par arcs

$X$ est connexe par arcs si pour tous $x,y\in X$, il existe un chemin continu $\gamma:[0,1]\to X$ avec $\gamma(0)=x$ et $\gamma(1)=y$. Connexe par arcs $\Rightarrow$ connexe. La réciproque est fausse (peigne de Varsovie).

Composantes connexes

La composante connexe de $x$ est le plus grand sous-ensemble connexe de $X$ contenant $x$. Les composantes connexes forment une partition de $X$ en fermés.

Connexité simple et fondamentale

$X$ est simplement connexe si connexe par arcs et $\pi_1(X,x_0)=\{e\}$ (tout lacet est contractile). Exemples : $\mathbb{R}^n$, $S^n$ ($n\geq 2$), disque. Non simplement connexe : $S^1$, couronne, tore.

§ 5 Axiomes de séparation

Axiome	Condition	Exemple
$T_0$ (Kolmogorov)	$x\neq y \Rightarrow \exists U$ contenant l'un et pas l'autre	Topologie de Sierpiński
$T_1$ (Fréchet)	Tout singleton est fermé	Topologie co-finie
$T_2$ (Hausdorff)	$x\neq y \Rightarrow \exists U,V$ disjts, $x\in U, y\in V$	$\mathbb{R}$, tout espace métrique
$T_3$ (régulier)	$T_1$ + séparation point/fermé	Espaces métriques
$T_4$ (normal)	$T_1$ + deux fermés disjoints séparables	Espaces métriques, compacts Hausdorff

Théorème de Urysohn

$X$ est normal ($T_4$) si et seulement si pour tous fermés disjoints $A,B$, il existe $f:X\to[0,1]$ continue telle que $f|_A=0$ et $f|_B=1$.

Théorème de plongement de Tychonoff

Tout espace Tychonoff (régulier complètement) est homéomorphe à un sous-espace d'un cube de Tychonoff $[0,1]^\kappa$.

§ 6 Espaces métriques

Métrique (distance)

Une distance sur $X$ est $d:X\times X\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ vérifiant :

$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ (séparation)
$d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire)

La topologie associée est engendrée par les boules ouvertes $B(x,r)=\{y:d(x,y)

Distances classiques sur $\mathbb{R}^n$

$d_2(x,y) = \sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$ : distance euclidienne
$d_1(x,y) = \sum|x_i-y_i|$ : distance de Manhattan ($L^1$)
$d_\infty(x,y) = \max_i|x_i-y_i|$ : distance de Chebyshev ($L^\infty$)
Distance discrète : $d(x,y)=1$ si $x\neq y$, $0$ si $x=y$

Équivalence des normes en dimension finie

Toutes les normes sur $\mathbb{R}^n$ sont équivalentes : elles définissent la même topologie. Ce résultat est spécifique à la dimension finie (faux en dimension infinie).

§ 7 Complétude

Espace métrique complet

$(X,d)$ est complet si toute suite de Cauchy converge dans $X$ ($\forall\varepsilon>0, \exists N : m,n\geq N \Rightarrow d(x_m,x_n)<\varepsilon \Rightarrow (x_n)$ converge).

Théorème du point fixe de Banach (Picard)

Soit $(X,d)$ complet et $f:X\to X$ une contraction ($\exists k<1 : d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)$). Alors $f$ admet un unique point fixe $x^*$, et pour tout $x_0$, la suite $x_{n+1}=f(x_n)$ converge vers $x^*$ avec :

$$d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k}\,d(x_1,x_0).$$

La suite $(x_n)$ est de Cauchy : $d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0)\to 0$. Par complétude, $x_n\to x^*$. Par continuité de $f$ : $f(x^*)=\lim f(x_n)=\lim x_{n+1}=x^*$. Unicité : si $f(x^*)=x^*$ et $f(y^*)=y^*$ alors $d(x^*,y^*)=d(f(x^*),f(y^*))\leq k\,d(x^*,y^*)$, d'où $d(x^*,y^*)=0$. □

Théorème de catégories de Baire

Dans un espace métrique complet (ou localement compact Hausdorff), toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. Équivalent : un espace complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

Complétion

Tout espace métrique $(X,d)$ admet une complétion unique (à isométrie près) : un espace métrique complet $(\hat X, \hat d)$ dans lequel $X$ se plonge isométriquement comme sous-espace dense. Exemple : $\mathbb{R}$ est la complétion de $\mathbb{Q}$.

§ 8 Théorèmes fondamentaux

Théorème de Brouwer (point fixe)

Toute application continue $f:\bar{B}^n\to\bar{B}^n$ (boule fermée de $\mathbb{R}^n$) admet un point fixe.

Théorème de Stone–Weierstrass

Si $X$ est compact Hausdorff et $\mathcal{A}\subset\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$ est une sous-algèbre qui sépare les points et contient les constantes, alors $\mathcal{A}$ est dense dans $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty$. Corollaire : les polynômes sont denses dans $\mathcal{C}([a,b])$.

Théorème d'Ascoli–Arzelà

Dans $\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$ ($K$ compact), une famille est relativement compacte (compacte pour la complétion) si et seulement si elle est uniformément bornée et équicontinue.

Invariants topologiques fondamentaux

Nombre d'Euler–Poincaré $\chi = V - E + F$ (polyèdres) : $\chi(S^2)=2$, $\chi(\text{tore})=0$
Groupes d'homologie $H_n(X)$ : capturent les "trous" de dimension $n$
Groupe fondamental $\pi_1(X)$ : lacets à homotopie près. $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$, $\pi_1(\mathbb{R}^n)=0$
Dimension topologique (Lebesgue covering dimension)