Trigonométrie — Mathématiques

§ 1 Cercle unité et définitions

On associe à tout réel $\theta$ un point $M$ du cercle unité $\mathcal{C}$ (centré à l'origine, de rayon 1). Les fonctions trigonométriques sont définies à partir de ce point.

Définitions sur le cercle unité

Pour $M = (\cos\theta, \sin\theta)$ le point du cercle unité à l'angle $\theta$ :

$\cos\theta$ : abscisse de $M$ (cosinus)
$\sin\theta$ : ordonnée de $M$ (sinus)
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (tangente, définie si $\cos\theta\neq 0$)
$\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ (cotangente, définie si $\sin\theta\neq 0$)
$\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$

Périodicité et parité

$\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques : $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$
$\tan$ et $\cot$ sont $\pi$-périodiques
$\cos$ est paire : $\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\sin$ est impaire : $\sin(-\theta)=-\sin\theta$
$\tan$ est impaire : $\tan(-\theta)=-\tan\theta$

Monotonicité et variations

Intervalle	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$[0, \pi/2]$	$0\to 1$ (↑)	$1\to 0$ (↓)	$0\to+\infty$ (↑)
$[\pi/2, \pi]$	$1\to 0$ (↓)	$0\to-1$ (↓)	$-\infty\to 0$ (↑)
$[\pi, 3\pi/2]$	$0\to-1$ (↓)	$-1\to 0$ (↑)	$0\to+\infty$ (↑)
$[3\pi/2, 2\pi]$	$-1\to 0$ (↑)	$0\to 1$ (↑)	$-\infty\to 0$ (↑)

§ 2 Valeurs remarquables

$\theta$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	indéf.	$0$	indéf.

Moyen mnémotechnique

Pour $\sin$ : $0, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ aux angles $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$. Pour $\cos$, l'ordre est inversé.

§ 3 Identités fondamentales

Identité de Pythagore

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

Corollaires : $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ et $1 + \cot^2\theta = \dfrac{1}{\sin^2\theta}$.

Relations entre angles complémentaires et supplémentaires

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta, \quad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta$$

$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta, \quad \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$

$$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta, \quad \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta$$

§ 4 Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition

$$\cos(a\pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$$

$$\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$$

$$\tan(a\pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}$$

Formules de duplication ($b=a$)

$$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$

$$\sin(2a) = 2\sin a\cos a, \qquad \tan(2a) = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$$

Formules de triplication

$$\sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^3 a, \qquad \cos(3a) = 4\cos^3 a - 3\cos a$$

Formules de la demi-angle ($t = \tan(\theta/2)$)

$$\sin\theta = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \tan\theta = \frac{2t}{1-t^2}$$

Substitution universelle : $t = \tan(\theta/2)$ permet de ramener tout calcul trigonométrique à une fraction rationnelle en $t$.

§ 5 Formules de transformation

Somme en produit

$$\cos p + \cos q = 2\cos\!\frac{p+q}{2}\cos\!\frac{p-q}{2}$$

$$\cos p - \cos q = -2\sin\!\frac{p+q}{2}\sin\!\frac{p-q}{2}$$

$$\sin p + \sin q = 2\sin\!\frac{p+q}{2}\cos\!\frac{p-q}{2}$$

$$\sin p - \sin q = 2\cos\!\frac{p+q}{2}\sin\!\frac{p-q}{2}$$

Produit en somme

$$\cos a\cos b = \tfrac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$$

$$\sin a\sin b = \tfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$$

$$\sin a\cos b = \tfrac{1}{2}[\sin(a-b)+\sin(a+b)]$$

Linéarisation des puissances

$$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad \sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$$

$$\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta+\cos 3\theta}{4}, \qquad \sin^3\theta = \frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}$$

Forme $a\cos\theta + b\sin\theta$

$$a\cos\theta + b\sin\theta = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta - \varphi), \quad \tan\varphi = \frac{b}{a}$$

§ 6 Fonctions trigonométriques réciproques

Définitions (branches principales)

$\arcsin : [-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$ inverse de $\sin|_{[-\pi/2,\pi/2]}$
$\arccos : [-1,1]\to[0,\pi]$ inverse de $\cos|_{[0,\pi]}$
$\arctan : \mathbb{R}\to]-\pi/2,\pi/2[$ inverse de $\tan|_{]-\pi/2,\pi/2[}$
$\mathrm{arccot} : \mathbb{R}\to]0,\pi[$ inverse de $\cot$

Fonction	Dérivée	Relation
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + \arctan\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$ ($x>0$)
$\mathrm{arccot}\, x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + \mathrm{arccot}\, x = \dfrac{\pi}{2}$

Identités importantes

$$\arctan x + \arctan y = \arctan\frac{x+y}{1-xy} + k\pi \quad (k\in\{-1,0,1\})$$

$$\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Formule de Machin : $\dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$ (calcul de $\pi$).

§ 7 Fonctions hyperboliques

Définitions

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$$

Identité fondamentale

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$

Les fonctions hyperboliques paramètrent l'hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ (comme $\cos,\sin$ paramètrent le cercle $x^2+y^2=1$).

Trigonométrique	Hyperbolique correspondante
$\cos^2+\sin^2=1$	$\cosh^2-\sinh^2=1$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$	$\cosh(a+b)=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b$
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$	$\sinh(a+b)=\sinh a\cosh b+\cosh a\sinh b$
$(\sin)' = \cos$	$(\sinh)' = \cosh$
$(\cos)' = -\sin$	$(\cosh)' = \sinh$

Réciproques hyperboliques

$$\mathrm{arcsinh}\, x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}), \quad \mathrm{arccosh}\, x = \ln(x+\sqrt{x^2-1})\ (x\geq 1)$$

$$\mathrm{arctanh}\, x = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\ (|x|<1)$$

Lien avec les fonctions circulaires

Via les complexes : $\cosh(ix)=\cos x$, $\sinh(ix)=i\sin x$. Le règle de Osborn permet de passer d'une identité trigonométrique à l'identité hyperbolique correspondante en remplaçant chaque produit de deux sinus par son opposé.

§ 8 Équations trigonométriques

Équations de base

Équation	Solutions
$\sin\theta = a$ ($\|a\|\leq 1$)	$\theta = \arcsin a + 2k\pi$ ou $\theta = \pi - \arcsin a + 2k\pi$
$\cos\theta = a$ ($\|a\|\leq 1$)	$\theta = \pm\arccos a + 2k\pi$
$\tan\theta = a$	$\theta = \arctan a + k\pi$
$\sin\theta = \sin\alpha$	$\theta = \alpha + 2k\pi$ ou $\theta = \pi-\alpha + 2k\pi$
$\cos\theta = \cos\alpha$	$\theta = \pm\alpha + 2k\pi$

Méthode — Équation $a\cos\theta + b\sin\theta = c$

Calculer $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Si $|c| > R$, pas de solution.
Écrire $\cos\varphi = a/R$, $\sin\varphi = b/R$ (i.e. $\varphi = \arctan(b/a)$).
L'équation devient $R\cos(\theta-\varphi) = c$, soit $\cos(\theta-\varphi) = c/R$.
Résoudre : $\theta - \varphi = \pm\arccos(c/R) + 2k\pi$.

Formules de Moivre et racines de l'unité

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

Les racines $n$-ièmes de l'unité sont $\omega_k = e^{2ik\pi/n} = \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}$, $k=0,\ldots,n-1$. Elles forment un groupe cyclique d'ordre $n$.

Séries de Fourier

Toute fonction $f$ $2\pi$-périodique intégrable au sens de Riemann admet un développement en série de Fourier :

$$f(\theta) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta)$$

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta$$